정리 중▶▶▶▶▷

Vortex의 모습(유체역학 교과서에 꼭 나오는 사진)

비행기가 지나가면 날개로 인해 vortex가 만들어 진다

Vortex sheet의 운동방정식인 Birkhoff-Rott방정식은 singular integral의 형태여서 수치해석하기가 쉽지 않다. regular한 미분방정식들은 대단한 수치해석기법없이 정밀한 numerical solution을 얻지만 Birkhoff-Rott과 같은 singular integral들은 수치해석에 상당히 다양한 기법이 들어간다. 일단 point vortex method가 한 방법인데 이 방법을 적용하기 위해 많은 테크닉들이 들어간다. 일단 desingularizaition parameter인 Krasny delta와 Fourier filtering technique을 활용해서 roll-up 문제를 해결한 Krasny는 이 공로로 ICM에서 초청연설을 한 적이 있고 이 분야의 세계적인 대가로 이름을 날리게 되었다. 하지만 이것만으로는 여전히 Long time computation에 어려움이 많았는데 이유는 컴퓨터 계산은 횟수가 누적될 수록 에러도 누적되기 때문이고 vortex sheet자체가 가진 물리적인 불안정성(Kelvin-Helmholtz instability)때문인데 이 에러를 줄이고 빠르게 계산하기 위해 많은 기법이 개발되었다. Birkhoff-Rott 방정식을 Krasny delta를 사용해 regular하게 만든 후 컴퓨터 연산을 빠르게 하기 위해 변수변환을 통해 식을 변형하고 이것을 direct computation하지 않고 quadrature들을 활용해 빠르게 계산하는 방법을 사용한다. 물론 대부분 Runge-Kutta 4th order method를 활용하고.

즉, 기본적으로 다음과 같은 기법들을 사용한다.

0) point vortex method

1) Desingularization by Krasny delta

2) Runge-Kutta 4th order method

3) Change of variables

4) Quadrature

5) Fourier filtering (periodic boundary condition인 경우)

이것들은 일단 기본이고 좀 더 정확하고 오랜시간에 걸쳐 계산하기 위해서 김선철 교수님의 논문(이준엽,손성익 공저)에서는 point insertion과 redistribution 기법을 활용했는데 이를 위해 cubic spline method까지 사용했다.

참고로 이론적인 배경은 생각하지 않고 계산기법만 따진다면 수학과 학부 2학년을 마친 학생들은 대부분 이해할 수있는 내용들이다.

첨부한 파일은 Krasny의 당시 논문인데, 이 분야의 중요한 논문이다. 아무도 해결못한 roll-up을 해결했으니 당연하다.

A study of singularity formation in a vortex sheet by the point-

이 논문의 특징은 친절함인데, vortex sheet 시뮬레이션의 어려움을 상세히 설명하고 그 어려움들을 하나하나 어떻게 하면 극복할 수 있는지 자세하게 설명한다.

해양에서 속도가 다른 두 해류가 만나 경계에서 vortex sheet 생기고 roll-up이 일어나면서 섞이고 있다