Suppose that the vortex sheet is identical with a line of latitude, namely θ(α,t) = θ0 and φ(α,t) = α, then the right hand sides of both equations become



Hence, the vortex sheet θ = θ0 and φ = α + V0t is a steady solution rotating with the constant speed V0. We study the linear stability of this solution.


Assume that the solution is disturbed slightly, that is to say



Then, we expand the equations in terms of



So we get the equations : 



and let



Using the perturbation expansion with respect to small disturbances,






Integration gives the followings : 



and

 




Let the small disturbances be Fourier series such as below :







Perturbation expansion of the equation of phi should be presented here





Therefore the eigenvalues are as follows :



, where



Thus, if the mode n satisfies



then Fourier coefficients θn(t) and φn(t) become neutrally stable. On the other hand, for sufficiently large n, since the positive eigenvalue approaches asymptotically to 



, a disturbance of high wave number grows like Kelvin-Helmholtz instability for planar flow.


    We apply this stability condition to two special cases.

First, when the strengths of both pole vortices are identical, namely κ2 = 0, the stability condition is reduced to



It indicates that when there is no pole vortex on the spheroid, i.e., κ1 = 1 , the number of stable spectra depends on the value of 'a'. The number of stable spectra decreases as 'a' increases and it increases as 'a' decreases to -1. For fixed κ1, especially when the latitude is pi over 2, the # of stable spectra becomes indefinitely large as a decreases to -1.


    Next, when the total vorticity on the spheroid is zero, namely κ1 = 0, the stability condition becomes



This means if the strength of the north pole vortex is greater than that of the south pole vortex, i.e., ΓN > Γ, the vortex sheet in the northern hemisphere region has some neutrally stable spectra, while the vortex sheet in the southern hemisphere region has no stable spectra. Therefore, the vortex sheets in the northern hemisphere region evolve more stably than those in the southern hemisphere region at the initial moment of their evolution.


    In what follows, we verify numerically the stability of the vortex sheet on the line of latitude, 

















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The original equation



 

Discretized version of the Original equation.






Regularized equation.





Azimuthal Effect of the Northern and Southern  Polar Point Vortices




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요즘 이거 하느라 바빠서 글을 못 올렸습니다. 이게 뭔지는 곧 자세한 설명을 올리겠습니다.



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  1. gyul 2014.03.16 04:43 신고

    아... 수학공부하신다는분이라고만 보고왔는데 이런 수학전문 블로그라니.........
    반드시 꿈을 이루시기를 바랍니다!!!
    꼭이요!!

Part I.

 

 

 

Part II.

 

 

 

 

 

 

 

 

Part III.

 

 

Part IV. Conclusion



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이번 글에서는 지금 읽고 있는 논문을 하나 소개하고자 한다.


895_ftp.pdf


제목 : Stability Analysis of Navier-Stokes Flows in Annuli

저자 : H. Fujita, H. Morimoto, and H. Okamoto


읽기에 앞서 Annulus란 무엇인지 알아보자. Annulus는 쉽게 말하면 2차원 도넛이다. 아래 그림에 나온 색칠해진 영역이다.



집합으로 표현해보자면



논문 내용 소개

 

유체의 흐름을 기술하는 나비어-스톡스 방정식은 유체역학의 주인공이지만 나비어-스톡스 방정식은 그 특유의 수학적인 어려움때문에 수학에서도 수리유체역학(Mathematical Fluid Dynamics)이라는 분야의 주인공이기도 하다. 이 논문은 Annulus 형태의 유체흐름이 평형상태(Equilibrium)에 이르렀을때, 즉, Stationary solution이 방정식에 있는 Parameter인 레이놀즈 수(Reynolds number)가 점점 커짐에 따라 새로운 형태의 평형해(equilibrium solution)이 존재하는지 아닌지에 대해 논하고 있다.

 

※ 파라미터(parameter)가 변함에 따라 equilibrium의 갯수나 성질이 변하는 것을 Bifurcation이라고 한다. 나비어-스톡스 방정식에는 점성(viscosity)과 레이놀즈 수(Reynolds number) 이렇게 두 파라미터가 있는데 레이놀즈 수는 유체의 속도와 관계가 있다. 레이놀즈 수가 커진다는 것은 유체의 속도가 빨라짐을 의미한다.

 

이 논문에서는 경계조건을 다음과 같이 주었다.

 

안쪽 경계인 원과 바깥 경계인 원에서 유체는 radial 방향으로나 azimuthal 방향으로나 각기 일정한 속도를 가지고 있다.

 

이렇게 가장 간단한 형태의 경계조건을 주는 경우, 프랑스 수학자 르레이(Lelay)가 unique solution이 존재함을 증명했는데 이 증명은 함수해석학을 편미분방정식론에 성공적으로 응용한 사례라고 언급하고 있다. 이 논문에서는 이 문제를 eigenvalue problem으로 변형시켜서 접근했고 이 방법을 통해 어떤 경우에도 bifurcation이 생기지 않음을 증명했다.

 

지금 내 지도교수님은 경계조건을 바꾸어 얻은 다른 형태의 equilibrium solution에서 bifurcation이 일어나는지 관심을 가지고 계시고 내가 교수님과 같이 이 일에 참여하고 있다. 논문 마지막에서 Generalized Jeffery-Hamel flow에 대한 언급이 나와있어서 현재 이 flow에서의 bifurcation을 체크하고 있다.

 

 

 

 

 

윗 식 마지막 항 전까지가 평형 해이고 마지막 항은 섭동해(perturbation solution)이다. bifurcation이 일어난다면 바로 이곳에서 일어나겠다. 아래는 고려할 조건들.

 

 

이렇게 해보고 결과가 만족스럽지 못하면 다음 항을 추가해서 고려해볼 수 있다.

 

 

이 항을 추가하면 나중에 계산이 상당히 복잡해진다.

 

 


 

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  1. freevibration165 2014.10.10 18:45 신고

    NS Eq에 대한 이해가 부족한지
    해당 글을 완전히 이해하기는 힘듭니다.
    잘 읽었습니다.


Vortex의 모습(유체역학 교과서에 꼭 나오는 사진)

비행기가 지나가면 날개로 인해 vortex가 만들어 진다



Vortex sheet의 운동방정식인 Birkhoff-Rott방정식은 singular integral의 형태여서 수치해석하기가 쉽지 않다. regular한 미분방정식들은 대단한 수치해석기법없이 정밀한 numerical solution을 얻지만 Birkhoff-Rott과 같은 singular integral들은 수치해석에 상당히 다양한 기법이 들어간다. 일단 point vortex method가 한 방법인데 이 방법을 적용하기 위해 많은 테크닉들이 들어간다. 일단 desingularizaition parameter인 Krasny delta와 Fourier filtering technique을 활용해서 roll-up 문제를 해결한 Krasny는 이 공로로 ICM에서 초청연설을 한 적이 있고 이 분야의 세계적인 대가로 이름을 날리게 되었다. 하지만 이것만으로는 여전히 Long time computation에 어려움이 많았는데 이유는 컴퓨터 계산은 횟수가 누적될 수록 에러도 누적되기 때문이고 vortex sheet자체가 가진 물리적인 불안정성(Kelvin-Helmholtz instability)때문인데 이 에러를 줄이고 빠르게 계산하기 위해 많은 기법이 개발되었다. Birkhoff-Rott 방정식을 Krasny delta를 사용해 regular하게 만든 후 컴퓨터 연산을 빠르게 하기 위해 변수변환을 통해 식을 변형하고 이것을 direct computation하지 않고 quadrature들을 활용해 빠르게 계산하는 방법을 사용한다. 물론 대부분 Runge-Kutta 4th order method를 활용하고.


즉, 기본적으로 다음과 같은 기법들을 사용한다.


0) point vortex method

1) Desingularization by Krasny delta

2) Runge-Kutta 4th order method

3) Change of variables

4) Quadrature

5) Fourier filtering (periodic boundary condition인 경우)


이것들은 일단 기본이고 좀 더 정확하고 오랜시간에 걸쳐 계산하기 위해서 김선철 교수님의 논문(이준엽,손성익 공저)에서는 point insertion과 redistribution 기법을 활용했는데 이를 위해 cubic spline method까지 사용했다.


참고로 이론적인 배경은 생각하지 않고 계산기법만 따진다면 수학과 학부 2학년을 마친 학생들은 대부분 이해할 수있는 내용들이다.


첨부한 파일은 Krasny의 당시 논문인데, 이 분야의 중요한 논문이다. 아무도 해결못한 roll-up을 해결했으니 당연하다.

A study of singularity formation in a vortex sheet by the point-


이 논문의 특징은 친절함인데, vortex sheet 시뮬레이션의 어려움을 상세히 설명하고 그 어려움들을 하나하나 어떻게 하면 극복할 수 있는지 자세하게 설명한다.



해양에서 속도가 다른 두 해류가 만나 경계에서 vortex sheet 생기고 roll-up이 일어나면서 섞이고 있다




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  1. *저녁노을* 2014.02.13 08:40 신고

    잘 보고갑니다.
    ㅎㅎ
    즐거운 하루 되세요

  2. 주영 2014.04.28 18:27 신고

    좋은 블로그네요...
    지금 singular integral 배우고있는데 여기에 대한 기초적인 교재같은걸 올려주시면 정말 감사하겠습니다.
    이를 이용한 미분방정식 풀이에 대해 포스팅해주시면 더 좋구요...
    그럼 좋은 하루 되세요...

    • '주영'님 죄송하게도 제가 지금 singular integral을 해석학적으로 깊이 공부하지 않았기 때문에 별로 도움을 드릴 수 없습니다. 제가 아직 배움이 짧다보니 이런 일이 생기는군요.. 앞으로 더 분발하겠습니다.ㅠㅠ

  3. 주영 2014.04.28 18:36 신고

    그 미분방정식..Cauchy 's equation에 대해서 올려주시면 좋겠습니다.
    이해하기 좋게 설명을 잘 해주시는것같아 부탁드립니다.

  4. 주영 2014.04.28 18:46 신고

    그리고 singular integral을 한국어로는 뭐라고 할수 있을가요?

    • singular integral은 특이적분이라고 합니다

      singularity를 특이성이라고 부르는 것을 보면 singular하다는 건 좀 특이하다는 거라고 표현하는 것 같습니다

Given Equation

 

 

 

 

Basic settings for central finite difference method :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

---------------------------------------------------------------------------------------------------

 

LEFT SIDE OF THE EQUATION :

 

RIGHT SIDE OF THE EQUATION :

 

 

 

---------------------------------------------------------------------------------------------------

 

Final results : f(n,k) = RIGHT SIDE - LEFT SIDE

 

 

 



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Separation of real and complex parts of the equation


The real part : 





The complex part : 















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Right side of equation

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Discretizaiton

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Therefore,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Rearranging it with respect to sequential representation, we get the following :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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Left side of the equation

 

 

 

 

Discretization

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Therefore,

 

 

 

Rearranging it with respect to sequntial representation, we get the following :

 

 

 

 

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