수열의 극한과 함수의 극한은 극한을 구한다는 점에서 공통점이 있지만, 극한을 구하고자 하는 대상(수열 혹은 함수)의 정의역이 다르다.(자연수 v.s. 실수)


개인적으로, 이 차이점이 학생들에게 수열의 극한보다 함수의 극한을 더 어렵게 느끼게 하는 것이라고 생각한다.


왜냐하면, 수열의 극한에서 'n이 무한대로 간다'에서 n이 1, 2, 3, ... 이렇게 단조롭게 커진다고 생각하면 이해가 쉬운데 반해서


함수의 극한에서는 'x가 2에 무한히 가까워질때 ' 혹은 'x가 2에 수렴할때'라고 할때, x는 정의역에서 실수선을 따라 움직이기 때문에


('움직인다'는 표현은 옳지 않지만 고등학생들에게는 그렇게 가르치므로 우리도 그렇게 표현하겠다)


정확히 x가 어떤 경로로 2에 다가가는지 상상하기 힘들다. 그저 막연히 스르륵 흘러 간다고 생각하고 넘어가게 되지만 극한을 구하는 과정이 조금은 막연해지는 느낌이 든다. 적어도 나는 그랬다.


집합론을 빌려 표현하자면, 수열은 정의역이 자연수집합인데 자연수 집합은 countable이고, 고등학교에서 함수의 정의역은 실수의 부분집합이므로 uncountable이다. 그런데 사람은 countable은 쉽게 이해할 수 있고 uncountable은 그렇지 않으므로 어려움의 차이가 발생한다는 것이다.


그렇다면 함수의 극한을 수열의 극한처럼 풀 수는 없는걸까?


가능하다. 가능하니까 지금 이러고 있겠지.


몇몇 해석학 교재들은 연속성과 같은 극한의 개념이 필요한 용어들을 수열을 통해 정의하기도 하는데(대표적으로 Bartle) 이를 sequential definition이라 한다.


예를 들어 다음과 같이 함수의 연속을 수열로 정의할 수 있다.


$$\begin{align}
&\mbox{Sequential definition of continuity of a function}\\
&\mbox{Let } f \mbox{ be a function defined on a subset } D \mbox{ of } ,\\
&\mbox{then } f \mbox{ is continuous at } x=a \mbox{ in } D \mbox{ if and only if}\\
&\lim_{n\rightarrow\infty}{}f(x_{n})=f(a) \mbox{ for every } x_{n} \mbox{ convergent to } a
\end{align}$$


a로 수렴하는 모든 수열을 함수에 먹이고 n을 무한대로 보내는 극한을 통해 x = a에서의 연속성을 정의했다.


잠시 중고등수학을 벗어나 이야기해보자면


이 정의의 장점은 기존의 입-델보다 이해하기 쉽다는 것이다. 이해하기 쉬운 뿐 아니라 연속성 증명에서 어려운 입-델을 불러내어 부등식을 요리조리 풀지 않고, 수렴하는 임의의 수열을 불러내어 수렴하는 수열들의 성질들을 잘 조합해서 증명할 수 있다.


그럼 이 정의를 이용해서 함수의 극한 문제를 풀어보기 전에 한가지 자명한 사실을 언급하자.


$$\lim_{n\rightarrow\infty}{\frac{1}{n}}=0$$




풀이.


$$\begin{align}
&x\rightarrow3\mbox{이므로 } x_{n}=3+\frac{1}{n}\mbox{으로 잡는다.}\\
&\mbox{주어진 함수에 대입하면 다음을 얻는다.}\\
&\frac{\lgroup3+\frac{1}{n}\rgroup^{2}-12}{\frac{1}{n}}=\frac{\frac{7}{n}+\frac{1}{n^{2}}}{\frac{1}{n}}=\frac{7+\frac{1}{n}}{1}=7+\frac{1}{n}\\
&\mbox{따라서 답은 } 7
\end{align}$$



함수의 극한이 수열의 극한을 포함하는 문제의 예시.


$$\begin{align}
&x\mbox{가 } 0 \mbox{에 수렴하므로 } x_{n}=\frac{1}{n} \mbox{으로 잡는다.}\\
&\mbox{대입해서 계산하면}\\
&\frac{\sqrt{1+x_{n}}-1}{x_{n}} = \frac{\sqrt{1+\frac{1}{n}}-1}{\frac{1}{n}} = \frac{\sqrt{n^{2}+n}-n}{1} = \sqrt{n^{2}+n}-n
\end{align}$$


이 방법에 있어서 장점이 뭘까?


그냥 별난 풀이 정도로만 보면 될까? 음. 필자는 그렇지 않다고 생각한다.


함수의 극한을 수열의 극한으로 환원시켜 푸는 방식의 가장 큰 강점은 불연속 함수의 좌극한 / 우극한 계산에 있다. 기존의 방식으로는 불연속 함수의 그래프가 주어지거나 없으면 그려서 그림으로 유추해 내어야 한다. 그러나 이 방식은 불연속 함수의 식이 주어진다면, 그래프를 그리는 수고를 하지 않고 풀 수 있다.


$$\begin{align}
&f(x)=\begin{cases}
x^{2}+1 &x<0 \\ -x^{2}-1 & x>0
\end{cases}\\
&\text{$x=0$에서의 좌극한을 찾으려면 $x_{n}=0-\frac{1}{n}$으로 놓자.}\\
&\text{대입하여 계산하면 $\lgroup-\frac{1}{n}\rgroup^{2}+1\rightarrow1$이다.}\\
&\text{따라서 $\lim_{x\rightarrow0-0}{f(x)}=1$이다.}
\end{align}$$


좌극한 / 우극한에서 정의역의 방향과 움직이는 방식을 수열로 구체화시켰기 때문에 이해하기 쉽고 계산도 쉽다.



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  1. baumgarten 2016.04.15 01:02 신고

    두 번째 문제에 대한 설명이 보충되어야 하지 않나요.. 위의 것은 함수의 연속성에 대한 정의를 극한에 대해 수렴하는 임의 수열의 개념을 도입하여 제시하는 것이지 극한만을 다루는 것이 아니니... 그러니 제가 말하고자 하는 바는 두 번째 문제는 연속함수인 f서 f(0)을 구하는 게 아니니까요 그저 극한값을 구하는 건데.

오랜만에 쓰는 고등학교 수학 글이다. 수학을 전공하면서 자연스럽게 과외와 학원 일을 많이 했는데, 전공자의 눈으로 중고등학교 수학을 다시 보니, 교과서가 허점이 많다는 걸 알았다. 일반 사설 문제집도 가끔씩 잘못된 문제(problem)들이 나오는데, 그 문제(problem)가 잘못되었단 걸 아는 사람이 별로 없다는 것이 진짜 문제(issue)다.


오늘 그 중 하나를 이야기해보자.





내용 : 수열의 부분합과 일반항의 관계.



$$a_{n}=f(n)$$


일때,


$$S_{n}=\sum_{k=1}^{n}{a_n}$$


이라 하자. 이 Sn을 부분합(partial sum)이라 한다.


부분합에는 다음과 같은 정리가 있다.


$$\begin{align}S_{n}-S_{n-1}&=a_{n}\mbox{ (n}\ge2\mbox{)}\\a_{1}&=S_{1}\end{align}$$


증명이 어렵지는 않으니, 생략하고.


한가지 의아한 점이 있다. 왜 n이 2이상이어야 할까? 아, 물론 n = 1이면 S_0이 나오고 이것은 정의한 내용이 아니므로 n이 2이상이어야 한다. 그럼 다음 문제를 풀어보자.


$$\mbox{Let } S_{n}=n^{2}+4n\mbox{, then find } a_{n}$$

$$\begin{align}S_{n}-S_{n-1}&=n^{2}+4n-(n-1)^{2}-4(n-1)\\ &=2n+3\\&=a_{n}\mbox{ for } n\ge 2\end{align}$$

$$S_{1}=a_{1}=5 \mbox{이고 } n\mbox{이 } 1\mbox{일때, }\ 2n+3=5 \mbox{이므로 } a_{n}=2n+3, n\ge1$$

 

음.. 즉, 부분합의 차를 이용해서 일반항을 구하는 것은 초항에 대한 정보를 얻기 힘든데, 부분합의 n에 1을 대입하면 초항이 나오니까 초항과 두번째항이 부분합으로 구한 일반항의 규칙을 만족하는지 검사했더니 잘 되어서 답을 이렇게 냈다.


그럼 다음 문제를 보자.


$$\begin{align}

S_{n}=2n^{2}-n+2, a_{n}=?
\end{align}$$

$$\begin{align}
&\mbox{이전 문제와 같이 풀면, } a_{n}=4n-3, n\ge2 \mbox{ 그리고 } 3=a_{1}=S_{1}\neq=4\times1-3=1 \\
&\mbox{따라서 } a_{n}=4n-3, n>1, \mbox{그리고 } a_{1}=3
\end{align}$$


1번 문제와 비교를 해보니, 수열의 부분합이 n에 대한 2차식이고 상수항이 0이면 초항부터 규칙을 따르는 등차수열이고 상수항이 0이 아니면 두번째 항부터 규칙을 따르는 등차수열이라고 결론을 지을 수 있고 실제로 많은 사람들이 이렇게 가르친다. 하.지.만.


.

.

.

.

.


다음과 같은 수열을 생각해보자.


$$
a_{1}=3, a_{2}=1, a_{n}=n n>2 \mbox{이면}\\
\begin{align}
S_{n}&=(a_{1}+a_{2})+a_{3}+\cdots+a_{n}\\
&=4+\left\{\frac{n(n+1)}{2}-3\right\}\\
&=\frac{n(n+1)}{2}+1
\end{align}$$


위 수열에서 부분합만 가지고 앞의 두 문제처럼 풀어보자.


$$\begin{align}
&S_{n}=n(n+1)/2+1 \mbox{이면, }\\
&a_{n}=S_{n}-S_{n-1}=n, n\ge2\mbox{이다.}\\
&\mbox{그런데 } a_{1}=S_{1}=2\neq1\mbox{인데, }\\
&a_{n}=n, n>1 \mbox{이고 } a_{1}=2 \mbox{이므로 모순}
\end{align}$$


응? 


이해가 가는가?


내가 제시한 수열은 두번째 항까지는 등차수열의 규칙을 따르지 않는다. 그래서 기존 풀이로 접근하면 틀릴 수 밖에 없다.


기존 교과서 내용 중 수학적으로 잘못된 부분이 바로 이 부분이다.


수열은 얼마든지 규칙을 따르지 않을 수 있다. 반드시 초항만 규칙을 따르지 않고 두번째 항부터 규칙을 따르라는 법이 없기 때문에


$$\begin{align}
S_{n}-S_{n-1}&=a_{n}, n\ge2\\
a_{1}&=S_{1}
\end{align}$$


여기에서 n ≥ 2 이 부분이 잘못되었다. 사실은 처음부터 몇번째 항까지 규칙을 따르지 않는지 명시해야 한다.


물론, 교과과정에서 초항이 규칙을 따르지 않는 것만 명시적으로 가르친다면 상관없지만 그런 설명이 없기 때문에 문제가 된다.


이때문일까? 수능에서는 이런 문제가 제대로 나온 적이 없다. 왜냐? 수능은 항상 논란거리를 만들지 않아야 하니까. 혹시 나왔었다면, 그 해 평가원 수준이 딱 그 수준인거다.


실제로 수학에서, 어떤 규칙 A를 따르는 수열을 A sequence라고 한다면 규칙 A를 유한개의 항을 제외한 나머지에서 따르는 수열은 quasi-A sequence 와 같이 quasi, pseudo- 등을 사용해 이름 붙이기도 한다. 우리가 살펴본 마지막 예제는 처음 2개의 항은 등차수열의 규칙을 따르지 않으므로 임의로 quasi-arithmetic sequence라고 불러 볼 수도 있다.


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  1. baumgarten 2016.04.15 01:16 신고

    만약 그러면 처음 m개의 항이 임의로 설정되었다면
    "S_n 마이너스 S_n-1 = a_n (n은 m+1이상)
    a_1 은 뭐 a_2 는 뭐 ... a_m은 뭐"

    이런 식으로 하면 되겠나요

  2. catchess 2016.04.15 21:15 신고

    교재의 설명이 그렇게 되어있다면 문제가 될 수도 있겠지만 출제 유형에 맞춰 쉽게 설명했다고 하면 이해가 돼요.

    실제로 현장에서 그렇게 안가르쳐요. 단순히 변수n에 대한 수열이라고 하지않고, 정확히 등차수열, 자연수 제곱의 합, 세제곱의 합 등으로 규칙을 명시합니당.

    물론 수열의 일부가 규칙을 따르지 않는다면 제외하고 나머지 부분을 새로운 수열로 간주하라는 것도 늘 얘기하는 부분. 특별한 설명이 없다면 출제유형도 일반항의 형식으로 n의 범위 안에서 등차임을 전제로 합니다.

  3. 2016.05.14 00:35 신고

    맨 마지막 Sn = n(n+1)/2 + 1 식에 n= 1, 2를 넣으면 a1 =2, a2 = 2 나옴.
    즉 Sn 식을 잘못구함 ㅅㄱ

    • 2016.05.14 00:39 신고

      그냥 가려다가 논란의 여지 없이 확실히하자면 여기서 Sn은 3이상의 n에서 정의되기 때문에 an을 저딴식으로 계산하면 안됨.
      덧붙이자면 고등학교 문제에서는 Sn 식이 n=1, 2, ... 다 성립하는걸로 주어지기 때문에 결국 글쓴이의 논조는 빗나감 ㅅㄱ

    • 글쓴이 2016.05.14 01:50 신고

      그래 수고했다.

:: 이 글은 필자가 과외학생에게 주기 위해 작성한 글입니다 ::





절대값


Absolute Value


 




1. 두 가지 정의




첫 번째 정의를 학생들에게 가르치다보면 처음에는 다들 쉽다고 생각하지만 학생들 특유의 오만함으로 항상 쉽게 넘겨 짚다보니 절대값 기호 안에 있는 문자가 조금만 복잡하면 안 배운 걸 풀고 있다고 생각하곤 한다. 이런 문제는 적절한 수학 공부를 통해 추상적인 사고의 기초적인 단계에 조차 오르지 못한 잘못된 학습방법에 기인한 것이다. 예를 들어 다음 문제를 풀어보자. 일단 학생 스스로 풀어보도록 하자.


예제 1. 를 만족하는 모든 실수해들을 구하라.



풀어보았는가? 위 문제를 못 푸는 경우 중 많은 경우가 절대값 기호 안에 있는 식이 맨 위에서 배운 식보다 복잡해서 손을 아예 못 대는 경우다. 사실 그렇게 복잡한 식이 결코 아니지만 대부분의 학생들은 조금만 배운 것과 다르면 아예 다르다고 생각하는 이상한 행동을 하는데 이런 부분을 빨리 고쳐야 수학 실력이 상승한다. 절대값의 1번 정의에 나오는 a는 임의의 수 또는 식을 대표하는 문자라는 사실을 잊지 말아야 한다. 그리고 결코 적지 않은 수의 학생들에게 다음과 같은 질문을 하는 경우


질문1. 실수 는 양수인가 음수인가?


많은 학생들이 양수라고 답하는데 그 이유는 a앞에 - 부호가 없기 때문이다. 사실 정말 어처구니가 없는 답변인데, 중학교 1학년 때 ‘문자와 식’ 단원에서 문자를 통해 수 또는 식을 일반적으로 나타내는 법을 배우기 때문에 a라는 문자가 별다른 언급이 없다면 임의의 수를 나타낼 수 있으므로 양수인지 음수인지 지금은 알 수 없다. 이제 몇가지 간단한 예제를 보자.



절대값을 만나면 항상 먼저 생각해야 하는 것이 있다.


절대값 기호 안에 있는 대상이 양수인가 음수인가?


이렇게 생각해야만 하는 이유는 절대값 정의가 저 질문을 묻기 때문이다. 수학은 생각하는 방법이 정해진 경우가 많다. 제 멋대로 풀지 말고 배운 그대로 풀도록 하자.

아무튼 절대값 기호 안에 있는 수 2는 양수이므로 절대값 기호를 제거할 때, 그대로 나오면 된다. 따라서



그렇다면



이번에는 답이 무엇일까? 스스로 풀어보고 이 글을 읽도록 하라. 풀어보았는가? 말했듯이 가장 먼저 해야할 생각은 절대값 기호 안에 있는 대상이 양수인지 음수인지 알아야 한다. 음수라면 절대값 기호를 없앨 때, 그대로 나오는 것이 아니라 - 부호가 붙어서, 즉, (-1)을 곱해서 나와야 한다. -3은 음수이므로



아까 배운 정의에서는 - 부호가 없었는데? 라고 생각하는 바보들이 은근히 많다. 쉽다고 생각해서 바로 답을 3이라고 쓰지 말기 바란다. 특히나 서술형을 준비하는 학생이라면 문제를 푸는 모든 과정을 순서대로, 논리적으로 써내려가는 연습을 해야만 한다. 마치 위에서 내가 -(-3)이라고 중간에 쓴 것처럼.



수학에서 ‘정의’는 ‘약속’이다. 정의에 토를 달아선 안 된다. 필자는 학생 시절에 다음과 같은 것들에서 혼란을 겪었다.



제곱하고 루트를 씌우나 루트를 씌우고 제곱하나 결국 같은 것 아닌가? 아니다! 절대 아니다.



약속이다. 토를 달면 안 된다. 위에 것 보고 결국 같지 않느냐고 항변하고 싶겠지만 가 음수인 경우 둘은 다르다.



외워라. 토달지 말고. 그렇다면 질문 하나 하겠다. 밑에 나온 식이 옳은지 옳지 않은지 판별하고 그 이유를 설명하라.





2. 기하학적 의미


  절대값 는 수직선에서 숫자 와 원점(Origin) 사이의 거리를 나타낸다. 절대값 자체가 원래 거리를 나타내기 위해 도입된 것으로 보는 시각이 옳다. 다음 그림을 참조하자.



원점 기준으로 왼쪽으로 2m 떨어진 사람과 오른쪽으로 2m 떨어진 사람이 각각 자신과 원점 사이의 거리를 말할 때 2m라고 하고 한 사람은 -2m라고 하지 않는 이유가 절대값의 개념인 것이다. 따라서



은 5와 3사이의 거리로 해석할 수 있음을 명심해야 한다. 그렇다면



은?



은 얼마일까?




3. 절대값이 어려운 이유


  절대값이 어려운 이유는 절대값의 성질에 기인한다. 절대값은 다른 수와 쉽게 더하거나 빼지 못한다. 예를 들면



기본적인 사칙연산 중 덧셈과 뺄셈을 바로 할 수 없어서 다루기 까다롭다.

따라서 절대값이 들어간 식은 반드시 절대값 기호를 해제시켜야 한다.


해제시킨다는 표현을 썼지만 1번 항목에서 알아본 것 방법대로 절대값 기호를 풀어내면 된다. 밑에서 기본적으로 알아야 하는 절대값의 성질들을 보자. 몇가지는 적지 않았음.



다행히도 사칙연산 중에서 곱하기는 자연스럽게 할 수 있다. (4)와 (5)는 고교 수학에서 기본적인 상식이지만 몰상식한 고등학생들이 넘친다.




4. 절대값 문제를 푸는 두 가지 방법


  절대값을 활용한 문제는 얼마든지 많지만 어떤 문제든지 일단 절대값을 풀어야 다음 단계로 진행을 할 수 있다. 따라서 어느 단원에서든 절대값을 보면 일단 해제시킬 생각부터 해야하는데 그 방법에는 무조건 두 가지 밖에 없다. 두 개 밖에 없는데 못 풀면 정말 노력을 안해서 앞으로 답이 없다는 증거니까 무조건 공부를 열심히 해서 항상 풀 수 있도록 하자.  한 가지 방법은 이미 첫 번째 절에서 말한대로 절대값 기호 안에 있는 대상이 양수인지 음수인지 알아보는 방법인데 이것을 나는 ‘범위 나누기’라고 한다. 범위 나누기는 다음과 같이 사용한다.


예제 2. 다음을 풀어라



일단 혼자 풀어보고 계속 읽어라. 풀어보았는가? 일단 절대값부터 풀자. 다음과 같이 생각해야 한다.


1)  에서 이 양수인가 음수인가?

2)  이라고 했으니까 은 ○○다.

3) 따라서 ?


비슷한 방법으로 |a-1|도 알아내어 풀어보자.


예제 3.



감으로 한 번에 풀 수 있어도 무조건 펜으로 써서 푸는 연습해라. 그렇지 않으면 서술형은 희망이 없다. 두 가지 방법이 있다고 했으나 범위 나누기가 아닌 ‘제곱법’으로 풀어보자. 3번 절에서 언급한 절대값의 5번째 성질을 활용한 방법이다.



이므로 답은 30이다. 제곱하면 절대값이 사라진다는 사실을 사용한 것이다.




5. 언제 어떤 방법을 사용할 것인가?


  이것은 많은 문제를 풀어보며 스스로 알아차리는 것이 가장 좋지만 일단 설명해본다. ‘범위 나누기’는 문제를 최소 2가지 경우로 나누어서 푸는 방법이라서 어떻게 보면 한 문제를 두 문제로 범위별로 나누어서 푸는 것이라 시간이 ‘제곱법’에 비해서 더 걸린다. 그러나 ‘제곱법’은 한 번에 풀 수 있는데, 그렇다면 무조건 ‘제곱법’이 만능인가? 그렇지 않다. 제곱법은 말 그대로 제곱을 하는 방법을 사용하므로 식 속에 있는 수가 커지거나 식 자체가 더 복잡해질 수 있어서 매우 복잡한 식에는 오히려 사용하기 부담스러울 수 있다. 그리고 ‘제곱법’을 사용해서 나오는 답 중에는 무연근이 나올 확률이 많다. 따라서 풀고 답을 썼는데 오답일 수 있는 것이다. 그렇다면 무조건 ‘범위 나누기’를 하란 것인가? 그렇지 않다. 두 가지 방법을 다 완벽하게 사용할 수 있어야 한다. 어떤 문제는 ‘범위 나누기’가, 또 다른 문제는 ‘제곱법’이 유용하기 때문이다. 이 부분에 대해 자세한 설명은 실제 문제 풀이와 곁들이도록 하겠다.

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  1. 강민성 2014.02.14 04:04 신고

    글 써주신건 고마운데 글 중간중간의 학생들을 비웃는 표현들 정말 보기 거슬리네요 별로 웃기지도 않고요

    • 담부터는 수위 조절하겠습니다만 고마우면 고마운 마음 제대로 표현하세요 어정쩡하게 뭐라하시는건지 모르겠네요 의도를

      p.s : 요즘 안 좋은 일이 많았어서 더 글이 자극적이었나봅니다. 수정하겠습니다.

  2. 오징오징 2014.02.27 09:27 신고

    윗 놈은 봤으면 고맙다고하지, 찔리나...
    잘 배워 갑니다.

  3. ㅎㅎ 2014.03.01 14:13 신고

    절대값 항상 헷갈렸는데 정리가 되는거 같아요!

  4. (:V) 2015.03.25 23:24 신고

    잘보고갑니다 오랜만에 공부하려니 모르는거 투성이였는데 잘 이해됐네요 :-)

  5. 안타까움 2015.05.18 23:03 신고

    글쓴이의 인성이 보이는군요. 어줍잖은 실력으로 '바보바보'를 남발하는 바보는 되지 마시길.

  6. 안타까움2 2015.09.10 17:13 신고

    글쓴이의 인성이 보이는군요. 어줍잖은 실력으로 '바보바보'를 남발하는 바보는 되지 마시길.

  7. 2016.01.30 04:47 신고

  오늘 이 자리에서 평가원도 실수를 한다는 것을 입증하고자 한다. 평가원 ㅃㅃ 나는 평가원이 적어도 수학에서만큼은 문제 출제를 잘 한다고 생각한다. 그런데 학원에서 강의를 하다가 이상한 문제를 발견했다.


그것은 바로 2008년도 9월 대수능 모의평가 수리영역 가형 심화 미적분 27번 문제


200809수리영역가형문제.hwp



27. 실수 전체의 집합에서 이계도함수를 갖고


$$f(0)=0, f(1)=\sqrt{3}$$


을 만족시키는 모든 함수 f(x)에 대하여


$$\int_{0}^{1}{\sqrt{1+\{f'(x)\}^{2}}dx}$$


의 최소값은? [3점]



똑똑한 학생이라면 보자마자 아~ 곡선 (x,f(x))의 x = 0부터 x = 1까지의 곡선의 길이가 최소가 되는 함수 f(x)를 구하는 거구나! 라고 알아채겠다. 그러면 상식적으로 두 점 (0,0)과 (1,√3)을 잇는 최단거리 곡선은 직선이니까 두 점 사이의 거리인 2가 답이다.


그러면 도대체 뭐가 문젤까??


수학에서 이런 문제를 다루는 분야를 변분법(Calculus of Variation)이라고 한다. 변분법의 대표작으로는 최속강하곡선이 사이클로이드라는 것을 증명한 것이 있겠다. 그런데 변분법을 사용하려면 변분법을 적용할 함수가 C^2 함수여야 한다. 무슨 말이냐면 이계도함수가 연속함수인 함수를 C^2 함수라고 한다. 그런데 이 문제에선 함수 f(x)가 두번 미분가능하다고만 했지 두번 미분한 함수가 연속이라고는 말하지 않았으므로 변분법을 직접적으로나 간접적으로나  사용할 수 없으므로 이 문제의 답은 알 수 없다. 아래 정리는 위 문제같이 간단한 경우에 사용해야 하는 정리다. 잘 읽어보자.

 

글의 신뢰도를 높이기 위해 응용수학 교재에서 직접 발췌했다. 잘 보면 twice continuously differentiable 이라는 말이 있는데 이것이 C^2라는 뜻이다. 위 정리를 사용하지 못하면 저 평가원 문제를 풀 수학적 근거가 없는 것이고 최속강하곡선이 사이클로이드라는 것을 구할 수도 없다.




참고로, 사이클로이드가 항상 최속 강하곡선이지는 않다. C^2 곡선 중에서 최속강하곡선이지 그 밖의 상황에서는 아직 어떤 곡선이 최속 강하 곡선인지 증명된 바가 없다.


아.. 그리고 두 점 사이의 최단거리를 이루는 곡선이 직선이라는 것은 오직 유클리드 공간에서만 맞는 말이고 일반적인 리만기하학에서는 성립하지 않는다. 예를 들어 서울에서 파리까지의 최단 거리 곡선은 직선이 아니다. 곡선이다. 지구를 완벽한 구면체라고 가정할 경우 대원(Great circle)이 답이다. 그러나 고등수학에서 리만기하학을 배우지는 않으므로 이 부분은 넘어가도록 하자.


+ 두 번 미분가능하지만 이계도함수가 불연속인 예

 

$$\begin{align}y&=x^{2}\sin{\frac{1}{x}}, \mbox{for } x\neq 0\\y&=0 \mbox{ for }x=0\end{align}$$

 

 

참고자료

Applied Mathematics, J. David Logan, JOHN WILEY & SONS


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  1. 엘지아르부피에르 2014.06.18 13:36 신고

    아...저런건 생각도 못했네요 이런걸 발견하시다니 정말 대단하셔요 와...

  2. 지나가던고딩1 2015.11.26 23:23 신고

    고등학생으로서 저 문제 많이 본 건데 변분법을 적용해볼 생각은 못 했네요 ㅇㅅㅇ
    그런데 f의 이계도함수가 불연속일 순 있어도 불연속점의 개수는 유한개일테니 불연속점을 기준으로 구간을 잘라서 각각 계산한다면 저 식을 최소로 하는 f가 일차다항식임을 보일 수 있지 않을까요??

    ...그리고 예로 드신 함수는 0에서 이계미분계수가 존재하지 않는 거 아닌가요..?

    • 주어진 함수가 C^2가 아닐 경우 변분법의 정리를 사용할 수 없어서 다른 방식으로 증명해야 합니다.
      수학에서 불연속 함수를 대상으로 어떤 정리를 만들기는 쉽지 않아서 상당히 까다로울 것 같습니다.
      그리고 예제로 든 함수는 X = 0에서 미분계수가 0입니다. 미분계수의 정의를 사용하면 구할 수 있습니다. 그러나 이계미분계수는 존재하지 않습니다.

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