위상수학을 하다보면 위상한 나라의 앨리스가 된 기분이 들때가 종종 있다. 해석학을 하다보면 함수가 정의된 공간이나 수들의 공간의 특성이 곧 함수의 특정한 성질들을 결정한다는 것을 알게 되고 이것에 대한 연구가 보통 학부3학년 1학기에 배우는 일반위상수학(General topology)에서 이루어 졌다. 일반 위상수학을 하다보면 기존 유클리드 공간에서 너무나도 당연하게 성립하던 내용들에 대한 반례들을 배우게 되는데(하우스도르프 공간이나 이런거) 공부하다보면 위상수학은 철학의 '존재와 시간'같은 느낌이 든다. (연결이란 무엇인가? 이런 질문에 대한 답을 하는 것이니 비유가 적절한 것 같다)


각설하고. 여기서 다룰 내용은 일반 위상수학의 내용은 아니다. 위상수학을 두 학기동안 가르치는 학교라면 2학기때 호모토피를 가르치는데 배우다 보면 중간에 신기한 내용들이 많다. 오늘은 그 중 두개를 포스팅하겠다.



S^2 는 sphere를 말하고 R^2는 2차원 실평면을 말한다. 구에서 평면으로 가는 연속함수는 정의역인 구 위에 반드시 함수값이 같은 적어도 한쌍의 대척점(지구상 정반대 위치)들이 존재한다는 뜻이다. 증명은 여러 증명들을 단계적으로 이용해야 하고 각 증명들도 짧지 않아서 블로그에 포스팅하기는 어렵다.


이 정리의 따름 정리(Corollary)를 살펴보자



매순간마다 지구상에 반드시 특별한 두 대척점이 존재하는데 이 두 대척점에서는 온도와 바람의 속력이 같다는 뜻이다. 이게 무슨 황당한 소리인가 싶지만 증명이 된건 어쩌랴.


위 따름 정리에서는 지구 각 지점에 (온도, 바람속력)을 대응시키는 연속함수를 고려하면 Borsuk-Ulam정리를 통해 증명이 끝난다. 개인적으로는 아래 정리가 더 신기하다.




구 위에 정의된 (연속) 벡터필드는 반드시 어딘가에 0이어야 한다는 뜻이다. 즉, 그곳에서는 영벡터라는 것이다. 이게 무슨 뜻이냐면


매순간, 지구 상에는 반드시 바람이 불지 않는 곳이 적어도 한 곳 있다는 뜻이다.


직관적으로 설명하자면 바람이 계속 분다면, 어딘가에서는 바람들을 내보내(Source)야 하고, 어딘가에서는 이 바람들이 들어와(Sink)야 한다는 것이다. 언뜻 생각하면 바람들이 사라지지 않고 계속 돌아다닐 수 있을 것 같지만, 그런 직관이 불가능하다는 것을 위 정리를 통해 알 수 있다.


언뜻보면 말도 안되는 것같은 이런 정리들을 그냥 '그런가보다'하고 받아들여야 할까 아니면 이것들이 제시해주는 수학적인 통찰이 있을까? 나는 이런 것을 보면, 다시 한번 함수의 성질은 정의역의 특성에 의존하는 정도가 매우 크다고 느낀다. 그래서 더더욱 함수 자체보다는 함수가 정의된 공간이 open인지 connected인지 이런 추상적인 개념을 위상수학에서 가르치는 것이 아닐까?


보너스로 정말 관찰하고 싶은 사람은 지구 바람 지도를 통해 살펴보자.


http://earth.nullschool.net/#current/wind/surface/level/orthographic=-227.66,32.91,701




위상수학에는 이런 난해한 내용이 꽤 있지만, 사실 너무 당연해서 어이가 없는 정리도 있다.

대표적인 예가 조르당 곡선 정리인데, 평면위의 임의의 폐곡선은 항상 평면을 곡선의 내부와 외부로 분할한다는 내용이다. 당연한 내용이 늘 그렇듯 증명의 난이도는 하늘로 솟구친다. 뭐.. 절대 못 알아들을 정도는 아닌데 증명도 길고 그전에 알아야 할 내용들도 적지 않다.


예전에 지역아동센터에서 교육봉사할때 여름방학마다 후배들을 모아서 아이들에게 수학놀이를 시키겠다고 이것저것 찾아서 교보재를 만들었었는데, 조르당 곡선 정리의 응용으로 아이들에게 복잡한 폐곡선을 주고 내부와 외부를 찾으라고 시키기도 했다. 근데 애들이 너무 잘 찾아서 재미가 없었다.

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  1. Abelian 2016.04.02 19:59 신고

  2. 물리성애자 2016.04.10 23:28 신고

    대부분의 고급학문으로 도출된 증명이나 수식으로 뽑아낸 결과물을 놓고보면 의외로 가장 단순하게 보는게 정답일때가 많죠. 진짜 개념자체가 양자역학처럼 이중성을 띠는게 아닌이상 가장 순수하게 보는 눈이 정답을 찾아낼때가 많은것같습니다..

  3. baumgarten 2016.04.15 01:19 신고

    저는 하이데거 보다는 칸트를 추천합니다. 순이비가 최고

경계

Boundary




  일반위상수학에서는 해석학과 미적분학에서 다루던 여러가지 개념들을 더 엄밀하게 집합론을 도구로 활용해 정의한다. 예를 들어 질문을 하나 해보자.


'경계'를 수학적으로 정의해보시오.


우리가 일상생활에서도 친숙하게 사용하는 단어인 '경계'를 수학에서는 도대체 뭐라고 정의할까? 답답한데 답부터 보자.


X를 위상공간이라 하자. 그리고 E를 X의 부분집합이라고 하고 E의 경계를 ∂E라 쓰고 다음과 같이 정의한다.



쉽게 말해 경계 위의 점이란, 그 점을 포함하는 open set이 E와 E의 여집합을 동시에 침범해야 한다는 뜻. 여담을 말하자면, 나는 수학을 공부하면서 수학자들이 굉장히 어떤 단어의 본질을 잘 파악하고 있다고 많이 느꼈다. 일상생활의 우리는 경계란 '그냥 끄트머리' 이 정도로만 막연히 생각하는데 수학자들은 필요에 따라, 이런 용어들을 정의할때 해당 용어의 본질을 제대로 파악해서 이것을 잘 기호화한다. 이런 것들을 볼 때마다 소름이 돋는다.


비유를 하나 들어보자. 우리 나라의 국경 중에 38선이 있는데 38선이 국경인 이유는 38선 위에 올라서서 두 팔을 조금이라도 벌리고 한바퀴 돌면 국가보안법을 위반한다. 왜냐면 몸이 넘어갔으니까. 이런 짓은 경계에서만 가능하다. 조금이라도 경계에서 물러난다면, 팔을 입실론만큼 벌리면 아무리 돌아도 북으로 넘어가지 않으니까.


그렇다면 이제 여러가지 상황에서 경계를 찾아보자.



어떤 2차원 평면(그 이상이어도 상관없다) 위에 위와 같은 곡선이 있다. 그러면 저 곡선의 경계는 어디일까?


양 끝점일까?




아니면

아예 몽땅 경계인건가...


보다시피 곡선 위 임의의 점에서 저런 근방에 의해 곡선 바깥과 곡선을 동시에 침범하므로 경계란 없는 것일까?


답은 그때그때 다르다. 왜냐하면 어떤 공간을 기준으로 볼 것이냐에 따라 다르기 때문이다. 이 부분을 정확하게 설명하려면 relative topology 개념이 필요한데 이것까지는 내가 귀찮아서 하기 싫으므로 간략하게 설명하면 



 

 


 이렇게 보면 곡선 전체가 경계

이렇게 보면 양끝이 경계 


두번째처럼 생각하는 경우는 주어진 곡선을 1차원 다양체(manifold)로 바라보겠다는 관점이다.

사실 대부분 다양체 관점을 사용한다.


그렇다면 이번에는 3차원 공간 속 2차원 곡면을 생각해보자.


이것의 경계는 어딜까.



그림이 거지같아서 이해하기 힘들겠지만 이건 뭐냐면 저 빨간 점이 곡면 위 한 점이고 빨간 반원 비스무리한 것은 저 점을 포함하는 3차원 ball을 비교적 입체적으로 나타낸 것이다. 이렇게 보면 이 곡면 전체가 경계면이 되는 것이다. 그러나



이 그림 또한 거지같아서 알아보기 힘들겠지만 저 빨간 원 비스무리한게 저 빨간 점을 포함하는 곡면에만 속한 open set이다. 이렇게 보면 이 곡면의 경계는 끄트머리가 되겠다.


이게 바로 경계선 


즉 해당 다양체의 내부에서 생각할 것이냐 아니면 전체 공간에서 생각할 것이냐에 따라 경계가 바뀐다.

그렇다면 독자에게 질문!


구의 경계는 무엇일까?


구에서 한 점을 빼면 경계는 어떻게 될까?


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  1. 314 2014.08.13 21:09 신고

    sphere 인가요 ball 인가요

  2. 잠온다 2015.08.20 01:10 신고

    양 끝점을 갖는 선분에서 이 선분에서의 부분공간으로 생각해도 양끝점에서의 열린집합 (부분공간에서)은 부분공간의 원소만을 갖는거 아닌가요?

  3. dd 2016.01.03 03:49 신고

    위상을 어떻게 주느냐에 따라 달라지지 않을까 생각합니다.

문제지는 파일첨부

  2013-2 미분기하 졸업시험예상문제.pdf

 

풀이

 

 

 

 

 

3번은 풀지 않았습니다. 귀찮습니다.

 

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  1. grace 2013.11.04 14:22 신고

    유용한 정보네요

문제지는 파일첨부

2013-2 위상기하 졸업시험 예상문제.hwp

 

풀이

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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  1. topy 2014.11.10 15:08 신고

    7번 어렵네요 흐엉. 진짜 감사합니다~ㅋ

1. Continuous functions in 1-dimensional real analysis

 

  실수의 부분집합을 정의역으로 갖는 실함수(real-valued function:함수값이 실수라는 뜻)를 예로 들어 연속함수를 간단하게 설명해보겠다.


 

위 문장에서 if 다음부터가 연속함수의 정의인데 그림으로 입실론-델타를 설명하는 사람들이 자주 사용하는

'잘못된 그림'의 예시부터 보겠다.

 

 

 

이 그림에서 잘못된 부분이 무엇인지 아는가? 위 그림대로라면 다음 관계식이 성립해야 한다.

 

 

하지만 우리는 델타가 저렇게 되도록 정의한 것이 아니다.

우리가 주어진 입실론에 대해서 델타를 정의하는 방법은 such that 다음에 나오는 문장에 나와있다.

 

위 그림을 제대로(완벽한 것은 아니지만) 바꾸면 다음과 같이 된다.

 

 

자, 아직 델타는 나오지도 않았다.

 

이제 우리가 이해해야 할 부분은 바로 such that 이하의 문장인데 다시 한 번 써보겠다.

 

(imply라는 동사는 한정기호(논리기호)로 두줄 화살표로 사용한다)

 

자, 드디어 델타가 나온다.

 

 

 

 

이런 그림을 그릴 수 있으면 연속이다. (그렇다고 그림을 못 그리면 불연속은 아니고;; 말하자면 그렇다는 뜻)

 

즉, 말로 정리하면 정의역에서 주어진 점 x에서 연속이라면 y=f(x)의 임의의 입실론 근방을 잡아서 역으로 보내서 나온 구간 내에서 다시 델타근방을 잡아서 다시 함수에 넣어 보냈을 때, 공역에 잡힌 입실론 근방 속으로 들어간다는 뜻! (2번째, 3번째 그림을 잘 보도록!) 

 

 

2. Continuous functions in metric spaces

 

 여기는 뭐 별거 없다. 1번에서 다룬 공간에서 거리는 절대값으로 표현했지만 일반적인 거리공간에서 거리를 나타내는 기호는 d이므로 이것으로 바꿔서 쓰면 연속함수의 정의가 그대로 나온다.

 

 

 

위 정의는 한 점에서의 연속성이므로 모든 점에서 연속인 함수를 거리공간에서 연속함수라고 정한다.

 

 

3. Continuous functions in topological spaces

 

 자, 그렇다면 거리 개념이 없는 일반적인 위상공간에서 연속함수는 뭐라고 정의해야할까? 수학사 속에서 위상공간의 정의와 연속함수의 일반적인 정의를 확립하기 위해서 꽤 오랜 시간이 걸린만큼 위상공간에서의 연속함수의 정의를 보면 처음에 이해가 안가고 사실은 대부분의 사람들이 이해를 포기하고 그냥 외운다. 학부 3학년때 위상수학을 배우면서 나도 외웠는데, 4학년때 이해를 했다. 왜 그렇게 정의할 수 밖에 없었는지. 힌트는 입실론-델타에 있다. 입실론-델타를 이해하기 위해서 그린 그림과 사용한 논리에 그 힌트가 있다. 일단 정의부터 살펴보자.

 

 

 

쌩뚱맞게 왠 open set???????

입실론-델타를 잘 생각해보자. 치역 속 입실론 근방의 역상을 보내고 그 역상 안에서 다시 델타근방을 잡는 작업을 하는데, 이 과정을 얼마든지 많이 할 수 있으면(사실 무한) 연속이라는 뜻인데 어떤 집합 안에서 다시 진부분집합을 잡는 것이 항상 가능한 집합이 open set이기 때문에 연속함수가 되기 위한 가장 필수적인 성질이 open set의 inverse image가 다시 open이 되어야 한다는 것이다.

 

 

4. Continuity depends on a given topology

 

 이전에 올린 글에서 open set은 정의하기 나름이라고 했다. 그렇다면 굉장히 특이한 topology를 가진 공간에서 연속함수는 어떤 느낌일까? 미리 말하자면 정말 특이한 일이 발생한다. 우리가 늘상 사용하는 usual topology를 가진 공간에서는 당연히 불연속인 함수도 어떤 위상공간에서는 연속함수가 되기도 한다. 이곳에서는 한 가지 예를 살펴보겠다.

 

우선 아래와 같은 함수를 정의하자.(Step function)

 

 

그리고 경우를 두가지로 나눠보자.

 

1) 정의역과 공역이 모두 Usual topology인 경우

2) 정의역과 공역이 모두 Discrete topology인 경우

 

일단, topology에 상관없이 그래프는 다음과 같다.

 

 

Step function은 대표적인 불연속함수다. 하지만 이 말은 Usual topology의 경우에만 맞는 말이다.

그렇다면 Discrete topology에서는 어떻단 말인가. 먼저 Discrete topology가 무엇인지 살펴보자.

 

정의. Discrete topology

 

즉, Discrete topology를 가진 위상공간은 모든 집합이 open set이라는 뜻! 말도 안 된다고 생각하겠지만 Open set의 일반적인 정의를 충족하기 때문에 맞는 말이다. 이제는 고정관념을 버려야 할 때!

 

위상수학에서 연속함수는 inverse image(preimage)가 open set이어야 한다. 그런데

 

가 이미 모든 집합 에 대해서 open set이므로(모든 집합이 open set이므로) 그래프가 끊어진 함수조차 연속함수로 판정받는 기이한 일이 일어났다.

 

정말 기괴하다고 생각할지 모르지만 함수의 정의를 생각해보면 어쩌면 이미 예고된 일이었는지 모른다.

 

 

함수는 함수식으로만 정의하는 것이 아니라 정의역과 공역도 정해야 하는데, 이는 같은 함수식을 갖는다 해도 정의역과 공역의 구조와 성질에 따라서 함수가 완전히 달라질 수 있음을 암시한다. 위의 사례에서는 정의역과 공역이 집합으로써는 같지만 위상공간으로써는 달랐기에 같은 함수식을 가지고도 위상적 성질은 연속성에서는 완전히 정반대가 되었다.

 

이 부분에 대해 더 공부하고 싶다면 Munkres저 Topology를 공부하면 됩니다. 아주 자세하게 나와있으니 연습문제까지 풀어보시면 매우 좋습니다.

 

 

위상수학 특집 순서

1. 위상이란 무엇인가?

2. 위상공간과 수렴성

 - 위상공간에서의 수렴성의 정의를 중심으로

3. 위상공간과 연속함수

 - 위상공간에서의 연속함수의 정의와

 - 위상이 주어지는 방식에 따라 함수의 연속성이 결정되는 것을 중심으로


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  1. typark 2014.08.06 18:02 신고

    한수 배우고 갑니다. 고수네요 ^^

  2. 오잉 2014.11.16 22:28 신고

    감사합니다

오늘의 주제는 수렴성(Convergence)입니다. 수학을 공부하는 사람이 처음으로 '수렴'이라는 말을 접하는 곳은 고등학교가 되었든 대학교가 되었든 '수열의 극한'일 것입니다. 어떤 수열이 어떤 값으로 수렴한다는 것의 정의를 살펴봅시다.

 

<Convergence in the real line>

 

 

수학에서 For any *** 이렇게 시작하면 ***은 사용자가 원하는 대로 정할 수 있는 자유변수(free variable)이고 there exists ### 이렇게 나오면 ###은 ***에 따라 변하는 종속변수(dependent variable)이다. 즉 위 문장에서 N은 epsilon의 함수다. 언뜻봐서는 그렇게 안 보이지만..

 

여기에서 a는 수열 an의 극한값(있다고 가정한 상태)입니다.

수열의 극한은 두 가지 관점에서 바라 볼 수 있습니다. 그러나 개인적으로는 두번째 관점이 위 정의를 명확하게 설명한다고 생각합니다.

 

첫째. 수열 an을 중심으로 이해하기

즉, an의 첨자 n이 커짐에 따라 an과 a의 차이가 줄어든다는 것입니다. 첫째 관점은 움직이는 수열(사실은 움직이는게 아니지만)이 어떤 값 a에 다가가는 것으로 이해하는 것입니다.

 

둘째. 극한값 a를 중심으로 이해하기

수열 an이 a에 한없이 다가간다면 a 주변에 무수히 많은 항들이 존재합니다.

 

위 두가지 관점을 비유를 통해 이해해봅시다.

 

영인이라는 이름의 남자가 은혜라는 이름의 여자에게 다가가려고(즉, 수렴하려고) 합니다. 여기서 수열 an은 영인의 수직선 상의 위치를 나타내고 a는 은혜의 위치를 나타냅니다.

 

첫번째 관점은 영인의 관점입니다. 영인이 은혜에게 수렴하려면 처음에는 좀 다른 곳을 둘러볼 수 있지만 결국 굉장히 큰 수 N 이후 부터는 영인의 위치 an (n>N)가 은혜의 위치 a와 가까워야 한다는 것이죠.

 

두번째 관점은 은혜의 관점입니다. 은혜는 영인이가 자신에게 다가오는지 알고 싶습니다. 그래서 자기 주변으로 적당한 반경 r1을 정한 뒤에 자기를 중심으로 하는 반경 r1의 원(C1이라고 합시다)에 영인이가 언제쯤 들어오는지 알아 봤더니 영인이가 100번째 움직임에서 C1에 들어와서 나가질 않습니다. 은혜는 그래도 영인이가 정말 자기에게 오는지 못미더워서 이번에는 r1보다 훨씬 작은 반경 r2를 정해서 원(C2)를 그렸습니다. 그랬더니 영인이가 1000번째 움직임부터는 C2안에 머물렀습니다. 은혜는 의심이 많아서 자꾸 자꾸 더 작은 원을 그렸고 영인이는 그때마다 적당히 시간이 지나면 꼭 그 원들 안에 머물렀습니다. 자꾸 원이 작아져서 영인이와 은혜의 거리는 결국 0에 가까워졌습니다.

 

위 비유에서 은혜가 선택하는 원의 반지름들이 정의 속 입실론입니다. 수열의 극한 정의를 위 상황에 적용하면..

 

→ 은혜가 임의로 선택하는 (작은) 양수 입실론에 대해서

 

→ 어떤 자연수 N이 있어서 이 숫자 이후의 영인이의 움직임은 은혜가 그린 원 내부에서 머문다.

 

이런 뜻입니다. 더 자세히 풀어서 설명할 수 있지만 그 정도는 독자가 알아서 합시다.

 

 

<Convergence in arbitrary metric spaces>

 

앞에서 다룬 실수선에서의 수렴(수열의 경우)을 이해하셨다면 일반적인 거리공간에서의 수렴의 정의를 이해하는 건 어렵지 않습니다. 실수선에서의 거리는 다음과 같이 정의했죠(Usual metric인 경우)



그렇다면 usual metric이 아닌 일반적인 metric에 대해서 수렴의 정의는 다음으로 일반화시킬 수 있겠군요.



<Convergence in general topological spaces>


그렇다면 '거리'라는 개념이 없는 추상적인(일반적인) 위상공간에서는 수렴을 어떻게 정의할까요??

거리개념이 없지만 Open set이라는 개념이 있어서 '거리' 대신 '가까움'(nearness)을 정의하는 것이 올바른 접근법입니다. 다음 내용을 살펴봅시다.



친절하게 설명해보자면..


1. X를 위상공간이라 하자

2. τ는 위상공간 X의 모든 open set들을 모은 collection

3. p, q, r은 X의 세 점(서로 다르다고 가정)

4. U, V는 두 Open set인데 p, q는 U에 속하고 p, q, r은 V에 속함.

5. 위에는 안 썼지만 p, r을 포함하는 open set은 τ에 없음


이런 경우에 q와 r 중에 누가 더 p에 가깝겠느냐는 질문에 자연스레 q가 p에 더 가깝다고 대답할 수 있다. 


즉, 위상공간에서의 가까움은 open set으로 정의한다. 형식적 정의는 다음과 같다.



<Complete spaces>

 

자 지금까지 수렴성 중에서도 수열의 수렴에 대해서 제한적으로 알아보았다. 자 그럼 간단한 질문하나 하겠다.



이 수열은 수렴할까??


.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.


답은 inconclusive다. 아직 수렴한다고 판정하기에는 정보가 부족하기 때문이다.


부족한 정보는 저 수열이 존재하는 위상공간이다.


만일 저 수열이 우리가 늘 다루는 실수선에 존재한다면 당연히 0으로 수렴한다고 직관적으로 판별하겠지만


저 수열이 무리수선에 존재한다면?? 분명 모든 자연수 n에 대해서 저 수열은 무리수여서 무리수공간에 들어있지만 저것의 극한값인 0은 무리수공간에 존재하지 않으므로 수렴할 곳이 없다. 즉, 저 수열은 분명 어떤 곳에 몰려들어가지만 그 곳에 구멍이 뚫려서(비유적으로) 수렴하는 곳이 없다. 즉, 우리는 수열의 수렴에는 두 가지 조건이 필요함을 알 수 있다.


첫째, 수열이 코시수열일 것(수열의 항들이 어딘가에 왕창 몰려있다는 뜻)

둘째, 수열이 속한 위상공간이 complete일 것(구멍이 없을 것)


우리가 자주 보는 실수선은 complete(한글로는 완비공간) space라서 직관적으로 수렴하게 생긴 수열들은 정말 다들 잘 수렴하는 것이다.


 

 

위상수학 특집 순서

1. 위상이란 무엇인가?

2. 위상공간과 수렴성

 - 위상공간에서의 수렴성의 정의를 중심으로

3. 위상공간과 연속함수

 - 위상공간에서의 연속함수의 정의와

 - 위상이 주어지는 방식에 따라 함수의 연속성이 결정되는 것을 중심으로


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  1. grace 2014.03.20 20:35 신고

    영광입니다. 잘보고가요~

  2. topy 2014.07.19 21:21 신고

    책 한권 내셔도 될것 같아요ㅋㅋ
    자유변수, 종속변수, 극한의 비유..
    complete에 대해서 항상 추상적으로만 느껴졌었는데..
    와.. 진짜 느끼는게 많아요..

    그런데 코시수열에서 수열의 항들이 어딘가에 몰려 있다는 말은 잘 이해가 안가요~_~

  3. 오잉 2014.11.16 20:56 신고

    정말 이해가 잘되네요 감사합니다.

  4. 수학 2015.03.18 12:09 신고

    감사해요 위상이 뭔지 갈피도 못 잡았는데 많은 도움 받고 갑니다

  5. kjwcoo 2015.10.26 13:30 신고

    항상 감사합니다! 써주신 글들이 수학에 관심을 갖는데 큰 힘이 되었습니다! 공대 학생인데 수학과 복전을 생각하게 되네요~ 감사합니다!

0. 서론

 

위상수학이 대중에게 알려질 때 다음과 같은 내용을 다루는 수학으로 알려져 있다.

 

 "도넛과 머그컵은 위상적으로 같다"

 

 출처 : http://en.wikipedia.org/wiki/Topology

 

하지만 학부에서 수학 전공생이 처음으로 만나는 위상수학에서는 위와 같은 내용이 나오지 않는다. 그래서 필자는 굉장히 혼란스러웠다. 그래서 교수님께 달려가서 이게 도대체 뭐냐고 물어봤지만 그 위상수학과 이 위상수학은 다른 것이라고만 하실 뿐 명확한 설명은 하시지 않으셨다. 그래서 이때부터 도대체 "위상"이란 무엇인지 탐구하게 되었다.

 

<주의>

물리에서 나오는 위상공간은 phase space이고 수학에 나오는 위상공간은 topological space이며 이 둘은 전혀 다른 개념이다. 그러나 phase space에서 Poincare가 현재 위상수학의 시작을 발견했다.

 

필자가 다닌 학교 수학과에서는 위상수학을 3학년 1학기, 2학기에 걸쳐 가르친다. 1학기에는 위상수학(1)이라는 이름으로 2학기에는 위상수학(2)라는 이름으로 가르친다. 위상수학(1)은 흔히 일반위상수학(General topology)라고도 한다. 다음은 위상(Topology)의 정의다.

 

 

처음에 보면 정말 이게 뭐하자는 것인지 도통 감이 오지 않는다. 나만 그랬나..?

그러면 지금부터 위상이 도대체 무엇인지 알아보자.

 

 

1. Open sets

 

1-1. Open sets in N-dimensional Euclidean spaces

  위상은 Open set과 관련된 개념이므로 open set부터 알아보아야 한다. 우선 가장 간단한 open set은 open interval이다. 한국의 고등학교에서는 미분적분을 배울때 열린구간 또는 개구간이라는 이름으로 open set의 한 종류를 배운다. Open interval은 집합 기호로 다음과 같이 정의한다.

 

 

 

그리고 간단하게 (a,b)로 쓴다. Open interval은 1차원 open set의 특별한 경우일 뿐이다. 일반적인 1차원 open set의 생김새에 대해서는 다음과 같은 정리가 알려져있다.

 

"임의의 1차원 open set은 open interval들의 countable disjoint union으로 나타낼 수 있다"

 

위 open interval의 느낌을 살려서 임의의 N(정수)차원의 유클리드공간 RN 에서의 open set의 한 종류를 살펴보자.

 

일때,

 

 

이것을 N-ball이라 한다. 2차원에서는 중심이 a이고 반지름(거리)이 r인 원의 내부가 되고 특별히 open disc라 부른다. 3차원에서는 중심의 좌표가 a이고 반지름이 r인 구의 내부가 되고 특별히 open ball이라 부른다. 사실 임의의 정수차원 공간에서 이런 것들을 모두 open ball이라 부른다. 그러므로 open interval은 1차원 ball이다. 위에서 우리는 임의의 1차원 open set은 어떻게 생겼는지 알아냈다. 그렇다면 비슷한 내용이 N차원에 대해서도 있지 않을까? 이에 대한 완벽한 대답은 이곳에서 다루기에 너무 무거우므로 짤막하게 언급만 하겠다.

 

"임의의 open set은 더 작거나 같은 open set들의 union으로 표현가능하다"

 

사실 여기서 1차원과 달리 disjoint는 들어갈 수 없다. 그리고 countable union이 될 지 안 될지도 우리가 다루는 공간의 성질(separable인지 아닌지)에 달려 있다. 그리고 위 명제에서 open ball이라 안 쓰고 open set이라 쓴 것도 해당 공간의 topology의 basis가 어떤지에 따라 다르기 때문이다. 쩝.

 

 

1-2. Metric spaces

  위에서 Ball을 정의할 때 별다른 언급없이 "거리"라는 말을 썼다. 수학적 감각이 있는 사람이라면 여기에서

 

"수학에서의 '거리'가 뭐야?"

 

이렇게 질문을 할 수 있다. 그리고 이 질문은 매우 좋은 질문이다. 고등학교 1학년이 배우는 수학에 2차원 평면에서 점과 점 사이의 거리가 나와 있다. 이 공식은 피타고라스 정리의 응용이다. 이 내용을 3차원 혹은 그 이상의 정수차원 공간에 적용하면 다음과 같은 거리 공식을 유도할 수 있다.

 

 

아까 봤던 거다. 사실 우리는 4차원에서 정말 거리를 저렇게 재도 되는지 모른다. 하지만 저 공식은 1차원, 2차원, 그리고 3차원에서 우리가 확인 가능한 정당성을 가지고 있으므로 '자연스럽게' 임의의 N차원으로 확장시켜도 거부감이 덜하다. 수학자들은 위 거리 공식이 가지고 있는 성질들을 모두 조사해서 '거리'라는 것이 가져야할 가장 기본적인 성질들을 다음과 같이 추출해냈다.

 

출처 : http://en.wikipedia.org/wiki/Metric_(mathematics)

 

즉 수학자들은 '거리'란 두 대상이 주어질 때 마다 어떤 실수값을 대응시켜주는 함수인데 아무렇게나 실수값을 대응시키는 것은 아니고 위 4가지 조건을 고려해서 대응시킨다.

 

1번 조건은 거리는 항상 0보다 크거나 같아야한다는 것이고 2번은 거리가 0이라는 것은 두 대상이 서로 같은 대상이라는 것이고 3번 조건은 두 대상이 같으면 거리를 재는 순서가 바뀌어도 상관없다는 것이고 마지막으로 4번째는 삼각부등식(삼각형에서 임의의 두 변의 길이의 합은 다른 한 변의 길이보다 항상 길다)이다. 뭔가 어렵게 보이지만 사실 상식적인 '거리'의 성질들일뿐이다.

 

위 조건을 만족하는 거리(metric or distance)는 우리가 피타고라스의 정리를 가지고 일반화시킨 거리(흔히 Usual metric 또는 Euclidean metric이라 함)외에도 많이 있다. Taxi metric이 좋은 예제다. 링크를 걸어두겠다.

 

지금 갑자기 open set하다가 '거리'이야기를 왜 하냐면 우리가 N차원 유클리드공간에서의 open set을 거리 개념을 가지고 찾아냈기 때문에 좀 더 일반적인 open set은 좀 더 일반적인 거리의 개념으로 찾아낼 수 있기 때문이다. (사실 무한차원 공간에서도 거리 이야기를 할 수 있다)

 

어떤 집합 X가 있고 그 집합의 원소들 사이에 거리를 재는 방법 d가 알려져 있다면 집합 X와 거리함수 d를 쌍으로 묶은 (X,d)를 거리공간(Metric space:X의 두 원소 사이의 거리는 d로 구할 수 있다는 뜻. 즉, 거리를 잴 수 있는 공간)이라고 한다. 그렇다면 이제 위에서 본 open ball은 다음과 같이 일반화된다.

 

 

따라서 임의의 거리공간의 open set들은 저런 open ball들의 적당한 union으로 표현할 수 있다. 자 이제 지금껏 우리가 알아본 공간들에서 Open set을 어떻게 정의하는지 알아보자.

 

open set은 다음과 같이 정의한다.

 

A set U is said to be open if for any point x in U there exists B(x;r) such that B(x;r) ⊂ U

 

쉽게 말하면 집합 U가 열려있어서 U안에 어떤 점을 골라도 그 점을 포함하는 적당한 open ball을 잡아서 집합 U안에 끼워넣을 수 있다는 것이다. 참 웃긴게 open이 뭔지 모르는데 open ball이라는 formal term을 이용해서 open set을 정의한다. 언어 논리의 측면에서 보면 순환논리의 오류가 보이는듯 하다.

 

그래서 여기에서 만족하면 수학을 할 자격이 없다. 그렇다면

 

'거리'라는 개념이 없는 세상에서 open set은 어떻게 정의할까?

'open이라는 말을 사용하지 않고 open set을 정의할 수는 없을까?'

 

이 질문들에 대답해야할 시간이 왔다.

 

1-3. Open sets in abstract spaces

  위 질문에 답하기 위해 수학자들은 거리 개념없이 기술할 수 있는 open set의 성질들을 찾아냈다. 그것들은 다음과 같다.

 

A. Empty set과 전체 집합은 open set이다.

B. Open sets을 아무리 Union(합집합)시켜도 open set이다.

C. 유한개의 open set을 intersection(교집합) 시켜도 open set이다.

 

위 명제들은 우리가 앞서 다룬 공간에서 증명가능한 정리(Theorem)이다. 그런데 증명할 때 '거리'를 사용하므로 '거리'가 정의되지 않은 추상적인 공간에서의 open set은 역으로(conversely) 저 세가지 성질을 만족하는 집합을 open set으로 정의해버린다.

 

이제 우리는 다시 한 번 교과서 속 topology의 정의를 살펴보아야 한다.

 

 

위 세가지 문장들은 바로 앞에서 다룬 open set의 성질들과 똑같은 내용을 말하고 있다.

 

즉, topology란 주어진 공간에서 open set이란 어떤 것인지 규정하는 방법이다.

 

따라서 어떤 집합 X가 위상공간이라고 함은 그 공간에서 어떤 집합이 open set인지 알려졌다는 뜻이다.

  그리고 학부때 배우는 일반위상수학은 open set으로 정의되는 것들의 성질에 대해서 배우는 과목이라고 할 수 있다.

 

앞으로 open set이 왜 중요한 개념인지 그리고 도넛 어쩌고 하는 위상수학은 그럼 뭐하는 것인지 알아보는 글을 쓰도록 하겠다. 언젠가 될지 모르지만 응원댓글이 달리면 그 날짜가 앞당겨 질 것 같다.

 

Conclusion for readers in English

Topology is an answer for a question: what sets are open sets on a given space X

 

위상수학 특집 순서

1. 위상이란 무엇인가?

2. 위상공간과 수렴성

 - 위상공간에서의 수렴성의 정의를 중심으로

3. 위상공간과 연속함수

 - 위상공간에서의 연속함수의 정의와

 - 위상이 주어지는 방식에 따라 함수의 연속성이 결정되는 것을 중심으로


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  1. 오일러제자 2013.09.26 09:42 신고

    너무나 쉽게 이해하고 도움도 많이 됐습니다. 위상에 관해 더 진도를 나갔으면 좋겠습니다.

  2. 창실 2013.10.02 18:59 신고

    전에 글은 사라졌나요? 댓글이 없어진 거 같아요

    • 전 글은 비공개로 바꿨습니다. 다른 이유는 아니고 open set의 중요성에 대해서 포스팅하려면 생각보다 스케일이 더 커질 것 같아서 일단은 비공개로 해 놓고 추후에 수정하려고요^^

    • 창실 2013.10.02 22:54 신고

      넵! 글 연재 부탁드릴게요. 저도 위상을 공부하면서 위와 같은 의문점을 가졌었거든요.

  3. ILoveAbel 2013.10.06 15:26 신고

    포스팅 잘 보고 갑니다. 덕분에 많은 도움이 된 거 같아요.

  4. grace 2013.11.04 14:25 신고

    정리가 확 되는 느낌이네요 ^.^

  5. 자연대 2014.03.10 08:36 신고

    감사합니다 덕분에 이해하고 갑니다

  6. 2014.04.20 16:39

    비밀댓글입니다

  7. 여유한 2014.05.19 19:41 신고

    와 글정말잘쓰심

  8. 2014.05.20 16:26 신고

    비전공자도 이해 가능하도록 써 주시다니 내공이 대단하신 것 같습니다. 감사합니다. open set에 대한 글은 아직 게시하실 마음이 없으신지요

    • 방문해주셔서 감사합니다 ^^
      요즘 마음이 싱숭생숭해서 글을 올리지 않고 있습니다.
      저도 맘 같아선 많이 올리고 싶은데 몸이 안 따라주는군요ㅜㅜ
      open set에 대한 글을 최대한 빨리 올리도록 하겠습니다.

      사실 Moore라는 사람이 쓴 논문을 읽고 번역하는 수준 밖에 안 될 것 같아서 좀 망설이고 있습니다. 그 논문 제목이 'The emergence of open sets, closed sets, and limit points
      in analysis and topology' 이거든요.. 일반위상수학에 나오는 개념들이 왜 나오게 되었는지에 대해 살펴본 논문이에요.

  9. topy 2014.07.19 21:12 신고

    위상수학(1) 수강하고 이걸 들으니까 느낌이 다른 것 같아요.

  10. 푸릴 2014.08.08 03:45 신고

    Topology... 정말 이해 안 되더군요. 처음에 정의 보고 (...)
    RCA에서 topology와 measure가 같이 나와서 그런데요, 혹시 Measurable set에 대해서도 글을 써 주실 수 있을까요?

  11. 하영 2015.03.22 14:58 신고

    이번주가 위상셤인데 머릿속에 아무것도 남지않아서 새로운 마음으로 공부하려고 글을 접하게되었습니다!ㅎㅎㅎ 알기쉽게 써주셔서 감사합니다^^ 다음 글이 기대가 되는데요?ㅎㅎㅎ

  12. Paradigm 2015.07.24 17:54 신고

    잘봤습니다 저도 도대체 위상이 뭔지 이해가 안되서 갑갑했는데 정확히 그 부분을 풀어주시네요 대단합니다 같은 고민을 한 선배님이 계시다니 감회가 새롭네요ㅎ 감사합니다

  13. 물리 2015.08.14 12:08 신고

    물리에서도 topology가 굉장히 많이 쓰입니다. 1년에 topological insulator로 나오는 논문이 몇개인데...

  14. mathfun 2015.09.11 11:01 신고

    책읽으면서 도대체 뭔 X소리야 했는데 이 글 보니 이해가 잘 되네요.

  15. 푸하하빵 2017.03.07 17:32 신고

    위상에서 open이 뭘 말하는지 이해가 안됐었는데.이글 보니까 조금 알겠어요 좋은 글 감사합니다~


Limit points, Closed sets, and Open sets



1-s2.0-S0315086008000050-main.pdf

 

 

 

 

 

 

 

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  1. 창실 2013.09.13 17:01 신고

    안녕하세요. 방금 방명록 확인하고 왔습니다.

    수학의 역사에 있어서 open이전에 limit,closed,compact의 개념이 먼저 연구되었다는 얘기가 흥미로웠는데요, 그에 대한 더 상세한 설명이 담긴 책이 있을까요?

    • 아, George H. Moore라는 사람이 쓴 논문에서 읽었습니다. 원하신다면 보내드릴수도 있습니다. 예전에 썼던 글에서도 밝혔듯이 수학은 Top-down형식으로 발전한 경우가 많은데요 옛날 수학일수록 더 그런 면이 강한 것 같습니다. 일반위상같은 것들은 해석학의 발전 과정 중에 모호했던 것들을 다시 정립하면서 발전했더라구요.

  2. 창실 2013.09.13 17:26 신고

    아, 그리고 수식은 어떻게 쓰나요?

    • 수식은 무식한 방법으로 쓰고 있습니다.
      한글 워드프로세서 수식입력기능으로 쓰고 그걸 화면캡쳐한 뒤에 이미지 파일로 만듭니다. 제가 컴퓨터 쪽은 밝지 않아서 많이 무식합니다.

  3. grace 2013.09.14 11:36 신고

    잘 읽었습니다 ^^

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