쳐다보기도 싫게 생겼지만 이런 것도 할 수 있어야 한다.



  학부때 미분방정식을 배우면 대부분 상미분방정식을 주로 배운다. 비선형보다는 선형 미분방정식의 풀이를 중점적으로 배우는데 여러가지 해법 중에 급수해법(Method of Series Solution)이 있다. 쉬운 형태의 미분방정식들은 풀면 답이 y = f(x) 형태로 나오거나 적어도 f(x,,y) = c 형태로 나오는데 아예 이런 elementary function들의 유한합으로 표현할 수 없는 경우에는 series solution을 쓴다. 급수해법이라고 만능은 아니고 굉장히 제한적인 경우에만 사용가능하다. 다음과 같은 미분방정식을 생각하자.



이 경우 워낙 쉽기 때문에 답이 



임을 쉽게 알 수 있다. 급수해법은 이 문제를 풀 때,



이렇게 가정하고(즉, 주어진 미분방정식의 해가 analytic function이라 가정하는 것) 해당 방정식에 직접 대입을 한다.



이고



따라서



같은 방법으로 다음과 같은 방정식도 급수해법으로 풀 수 있다.




그러나 다음과 같은 문제는 급수해법으로 풀기 힘들다.



이 문제는 y를


이렇게 가정한다고 한들 식이 도저히 정리가 되지 않는다. sinx 때문에 정리가 안되니까 sinx를 테일러전개해서 적당히 근사해도 되지만 그래도 계산이 빡센건 매한가지다. 미분방정식 이론에서 저런 간단한 형태의 미분방정식은 해를 갖지만 존재만 증명할뿐 실제 해가 어떻게 생겼는지는 알기 힘들다. 그래서 만약 적당히 유한항까지만 계산하고 싶다면 다음과 같은 방법을 생각해보자.


우선, 위 식을 다음과 같이 바꾸자.




일단 이 식에 초기조건을 넣으면 우리는 다음 조건을 얻을 수 있다. 



그리고 양변을 몇 번 미분해주자.



여기에 주어진 초기 조건을 차례로 대입하면



이렇게 고차 미분계수들을 얻을 수 있고 이것들을 이용해서 




위 식은 y를 5차 미분까지 테일러 전개한 형태이다. 미분방정식 교재에 나온 급수해 방법은 항등식의 성질과 점화식을 사용해 급수해를 구하지만 급수해를 적용하기 어려운 경우는 아무 것도 못한다. 그러나 이 방법은 초기 조건이 주어진 경우에 원하는 만큼 유한항까지의 테일러 계수를 찾아서 근사해를 찾을 수 있다.







이 방법은 필자가 학부 2학년때 생각해본 것으로 별로 대단한건 없고 발표용으로 간단하게 해본 것이다. 따라서 너무 진지하게 공부할 필요는 없다.


이 방법을 발전시켜서 multipoint taylor approximation이라는 것을 개발해보려 했으나 별로 의미는 없는 것 같아서 관뒀다. 

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  차분방정식(Difference equation)이란 쉽게 말하면 수열의 점화식같은 것이다. 오늘은 이 차분방정식을 비교적 간단한 상황에 적용시키는 것을 해보고자 한다. 오늘 전개할 내용은 전에 봤던 어떤 응용수학 책에서 본 것이고 2012년도 미분방정식(1) 시간에 발표했던 내용을 바탕으로 작성했다.



한해살이 식물의 증식


우리가 모델링 할 가상의 꽃
5월에 꽃을 피우고
8월에 씨를 뿌린 후 죽는 꽃
위와 같은 특징을 지닌 꽃의 개체 수에 대한 정보를 주는 식은 과연 어떤 형태일까?



모델링하기 전에


다음과 같은 5가지 가정이 필요합니다 :
1.1. 꽃은 8월에 씨를 뿌리고 죽는다
2.2. 씨들 중 일부는 겨울에 죽는다
3.3. 살아남은 씨 중 일부가 5월에 발아한다.
4.4. 첫 번째 발아에 실패한 씨들은 다음 해 5월에 마지막 기회가 있다.
5.5. 두 번 다 실패한 씨들은 죽는다



모델링에 필요한 상수들을 설정합니다



 : 꽃 1송이가 생산하는 씨앗의 수


 : 1년생 씨앗의 발아확률 (0과 1사이)


 : 2년생 씨앗의 발아확률 (0과 1사이)


 : 씨앗 하나의 겨울 생존 확률 (0과 1사이)


증식 알고리즘

 

 

 

변수 및 미지수 정의하기



 : 그 해 꽃의 수


 : 4월에 존재하는 1년생 씨앗의 수


 : 4월에 존재하는 2년생 씨앗의 수


 : 5월에 발아하지 못하고 남은 1년생 씨앗의 수


 : 5월에 발아하지 못하고 남은 2년생 씨앗의 수


 : 8월에 생산된 새 씨앗의 수



방정식 세우기

 

 



 

식 정리하기


 

 

 



최종 방정식





Remark


  우리가 가정한 한 식물의 증식 알고리즘은 그렇게 단순하지 않았다. 상당히 현실적인 부분을 많이 고려했음에도 불구하고 우리가 얻은 식은 고등학생도 풀 수 있는 단순한 수열의 점화식이다. 이 점이 상당히 놀랍다.



풀이


이라고 가정하고 최종방정식에 대입하면 

을 얻는다.

이 방정식을 풀면 r = 1 또는 2다.

따라서  이다. 

그리고 저 최종방정식은 선형방정식이므로 우리가 얻은 서로 다른 두 해의 일차결합이 일반해가 된다.

따라서 답은



임의의 상수 과 는 식물의 초기조건에 따라 결정된다.

그런데 우리는 초기조건을 설정하지 않았으므로 더 이상은 건드릴 수 없다.


분석


  만약에 저 식물이 멸종 위기에 처했고 정부에서 이 식물을 지키고자 한다면 무엇을 해야할까?

 우선 살아남은 식물들을 잘 관리해서 과 가 적당한 수가 되도록 하면 된다.

 그러면 저 식물 증식 방정식에 의해서 식물이 지수함수적으로 증가하기 때문이다.

 만약에 관리당국이 초기에 식물관리를 제대로 못해서 가 0이 된다면 이 식물은 멸종하게 된다.



내가 알기로는 실제로 미국과 같은 수학 선진국에서는 이런 분야의 수학을 실제 생태계 보존에 적극사용한다고 한다. 그러나 대한민국은... 답이 없다. 무조건 주먹구구식이다.

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