오랜만에 쓰는 글입니다. 많이 부족해도 이해해주시기 바랍니다.

오랜만에 블로그에 방문해서 달려있는 댓글들을 읽던 중 선적분에 대해 글을 올려달라는 요청을 보았습니다.  마침 다시 글을 올리고 싶었는데 무엇부터 올려야 할지 몰라 이러지도 저러지도 못하고 있었는데 잘 되었다 싶어 이렇게 글을 올립니다.




  미분적분학에서 선과 관련있는 적분이 2개 있다. 하나는 경로적분(Path integral)이고 다른 하나는 오늘 포스팅할 선적분(Line integral)이다. 선적분은 기본적으로 물리에서 말하는 일(Work)의 개념이다. 따라서 물리적인 상황을 생각하면 이해가 쉽다. 우선 수학적인 정의부터 살펴보고 그 안에 담긴 의미를 살펴보자.


출처 : 위키피디아


여기에서 F는 벡터장(Vector field)이고 C는 적당히 부드러운 공간 상의 곡선이다. r 은 쉽게 말해 곡선 C를 나타내는 함수식이다.


여기서 잠깐 고등학교때 배운 물리를 다시 기억해보자.


노란 박스를 움직이기 위해 파란색 화살표가 나타내는 방향과 크기만큼의 힘을 가했을때, 이 힘이 움직이는 방향 r  로 얼마나 유효한 영향을 미치는지 알기 위해 우리는 진행방향과 힘 F 사이의 예각을 θ 라 할때, cosθ 를 계산했다. 그리고 조금만 더 공부하면 이게 사실은 진행방향 벡터 r 의 크기를 1로 가정했을때, 와 의 내적(dot product)이라는 것을 알게 된다.


일종의 유효타격이라고 생각하면 된다.



자, 이제 설명을 해보자. 우선,


다음과 같이 어떤 지역에 바람이 불고 있다고 해보자.




이제 이 지역을 다음과 같은 경로를 따라 지나가려고 한다.



이제 이런 경로를 따라 갈때, 바람이 내가 가고자 하는 경로를 따라 나를 얼마나 도와주는지 아니면 방해하는지를 알아보고자 한다. 쉽게 말해, 바람이 나를 뒤에서 밀어줄지 아니면 앞에서 맞바람으로 막아서 힘들게 할지를 알아보고자 하는 것이다. 물리 용어로 표현하면 바람이 나에게 어떤 일을 하는지 알아보는 것이다. 그래서 이동 경로 중 어느 한 부분에서 일어나는 일을 다음 그림으로 살펴보자.



저 순간에서 바람이 진행방향으로 미치는 알짜힘(유효타격!?)은 다음과 같다.



이것을 시간에 따라 처음부터 끝까지 적분하면 처음부터 끝가지 움직이는 동안 받은 모든 알짜힘들을 합치는 것이므로



이 적분이 내가 움직이는 동안 바람이 나에게 미친 영향이다. 여기서 



임을 이용하면



이것이 우리가 원하는 선적분이 된다. 생긴건 무섭게 생겼지만 움직이는 경로에서 바람이나 강물이 내가 움직이는 방향으로 준 힘들의 총합임을 생각하면 정말 당연한 정의가 된다.


이렇게 정의를 배우고 문제를 풀어보자.


주어진 벡터 필드 


움직일 경로 곡선


움직이는 시간


선적분을 구하기 위해


1. 임의의 점 c(t) 에서의 벡터(바람)



벡터필드에 위치 c(t)를 입력해서 해당 위치에서의 벡터(바람)을 계산했다.


2. 임의의 점 c(t) 에서의 순간 진행 방향



3. 임의의 점 c(t)에서의 바람이 진행방향에 미치는 알짜힘



4. 0초부터 끝까지 적분하면



이렇게 간단한 계산을 할 수 있게 되었다. 그런데 특별한 경우에 계산이 매우 쉬운 경우가 있는데, 일변수 정적분에서 미적분학의 기본정리같은 것이 선적분에도 있다. 사실 선적분의 기본정리라고도 하는데 이 내용은 다음에 하도록 하겠다.






다음 시간 예고

선적분의 기본정리, Path independence of Line integral, Conservative vector field




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  1. leekeon 2015.06.27 11:23 신고

    우와~~ 오랜만이라 더욱 반갑습니다.
    잘 보고 갑니다. 앞으로도 좋은글 많이 부탁 드립니다

  2. leekeon 2015.06.28 15:06 신고

    다음에 시간되실때 다양한 적분(리만, 일반리만, Darboux, R-S 적분)의 개념적인 차이와 장단점? 등을 한번 정리해 주시면 감사하겠습니다~~ ^^

  3. dkssudgktpdy 2015.07.18 14:50 신고

    잘 읽었습니다. 조금 이해가 안가는 부분이 있는데 위의 적분값이 알짜힘이 되기 위해선 r'(t)의 크기가 1이어야 하지 않나요?

    • 게으른 둔재 2015.07.23 06:06 신고

      안녕하세요~ 나름 아는대로 설명해보자면...
      r'(t)의 크기가 1이 되어야 한다고 생각하시는 이유가 "힘(F)을 시간에 대해서 적분해야 하니까"라고 생각하셔서... 이지 않을까 싶은데요.
      정확히는 힘을 '경로'에 대해서 적분한다고 생각해야 옳습니다. (그게 일-Work-의 정의니까요.) 미소변위 dr동안 한 일의 양이 Fdr이고, 이걸 '경로'에 대해서 적분한다고 보시면 됩니다. 그런데 dr = (dr/dt)dt 라서 F(dr/dt)를 시간에 대해서 a부터 b까지 적분한다...라고 이해하시면 되지 않을까 싶습니다!
      혹시 설명이 잘못된 부분이 있다면 지적해주세요!

  4. 게으른 둔재 2015.07.23 05:58 신고

    오랜만에 글 남기시네요. ㅋ 안 그래도 요즘 시간이 남아서;; vector calculus 공부중이었는데... 지금 보고 있는 부분을 포스팅으로 뙇! ㅎㅎ 다음 시간도 기대하겠습니다.

  5. 닥터K 2015.10.08 09:02 신고

    선적분의 물리적 개념이 훅 와 닿습니다
    고맙습니다

  6. msh10141 2015.12.15 22:56 신고

    감사합니다!

  7. lol123 2016.12.14 02:16 신고

    감사합니다!!

  8. 쫘두 2017.03.06 18:11 신고

    안녕하세요 글 잘보았습니다. 그런데 한가지 질문이 있습니다. 좌표에 대한 함수 r(t)는 각 x,y,z 로 표현되므로 벡터로 봐야하는게 맞는것이겠죠?
    그런데 벡터는 '크기'와 '방향' 을 가져야 잖습니다. 그렇다면 좌표를 나타내는 벡터함수 r(t) 의 각좌표에서 '크기' 와 '방향' 은 무엇입니까?

    • 대학수준에서 벡터는.. 2017.03.12 22:40 신고

      일반적으로 대학수준에서의 벡터는 좌표로 표시되며, 이는 원점을 시점으로 하는 위치벡터 임을 의미합니다. 다시 말해서, 종점이 바로 표시된 r(t)의 좌표이고, 시점이 원점이라는 얘기입니다. 그러면 크기와 방향문제가 모두 해결되겟네요

미적분학의 기본정리

Fundamental Theorem of Calculus


  수학의 여러 분야에는 기본정리(Fundamental Theorem)이라는 것이 종종 있다. 대수학에는 대수학의 기본정리가 있는데 미적분학에는 미적분학의 기본정리가 있다. 해당 분야의 근본적인 문제에 답을 주는 정리들이 기본정리라고 불리는 것 같다. 오늘은 미적분학의 기본정리를 알아보자.




  대한민국에서 고등학교를 다녔다면 대부분 미적분학을 조금씩은 배운다. 곡선과 x축 사이의 넓이를 구하기 위해 정적분을 하지만 그 정적분 계산을 피적분함수의 부정적분을 구해서 구간의 끝 값에서의 부정적분함수의 값 차이를 이용해 구하기 때문에 많은 사람들이 원래 정적분이 부정적분이랑 거의 같은 것이라고 생각하는 것 같다.


바로 이거!


그러나 원래 정적분과 부정적분은 아무 상관이 없다. 정적분은 전에 올린 리만적분 글에서 말했듯 급수의 극한이고 부정적분은 그냥 미분해서 f(x)가 나오는 미지의 함수 F(x)를 찾는 것이다.


똑같은 인테그랄 기호 사용한다고 같다고 착각하면 안된다!


사실 둘은 완전 다른거!


그런데 특별한 경우에 둘 사이의 관계가 발생!


그게 바로 미적분학의 정리가 말하는 것!


별 생각없이 하던 계산이 사실은 매우 놀라운 정리의 결과였다는 것


보통은 블로그 글에서 증명은 잘 안하지만 미적분학의 기본정리는 좀 해둘 필요가 있어서 간단히 서술하고자 한다.


미적분학의 기본정리(Fundamental Theorem of Calculus)



일단 딱 봐도 아무때나 사용할 수 있는게 아니라 조건이 적지 않게 달렸다. 저기서 집합 E와 조건 (b)는 무슨 소리냐면, 정의역 [a,b]에서 유한개의 점에서는 함수가 나쁘게 행동해도 적분에는 별 영향을 주지 못한다는 뜻을 어렵게 써놓은 것이다.


대략적인 증명)



수학에서 엄청 중요하게 쓰이는 정리 중 하나인 중간값 정리가 여기서도 빛을 발한다.



미적분학의 기본정리를 통해 서로 다른 두 세계 사이에 다리가 놓였다.


미적분학의 기본정리를 사용할 수 없는 예제1.



이유 : 주어진 함수의 antiderivative(원시함수 F(x))를 찾을 수가 없다.(사실은 있는데 우리가 알고 있는 초등함수(다항, 삼각, 지수, 로그, 유리, 무리함수)를 유한번 사용해 표시할 수 있지 않고 analytic하다면 테일러급수같은 무한급수 형태로 표시할 수 있다)


그렇다면 이런 함수의 정적분은 어떻게 구하나? 못구하는건가??


아니다. 미적분학의 기본정리라는 간편한 도구를 사용하지 못하는 것일뿐 정적분의 원래 정의대로 급수를 잘 셋팅해서 구하면 된다.


여기서 알 수 있는 사실이... 사실은 정적분 계산이라는게 엄청 고단한 일인데, FTC가 특별한 경우에 한해서 그 수고를 덜어준다는 것이다. 여기서 보이지는 않겠지만 사실은 다음과 같은 간단한 함수도 리만적분의 정의대로 구하는 것은 상당히 귀찮다.



오늘 이 시간부터 앞으로 정적분 계산때 FTC를 사용한다면 한번씩 라이프니츠와 뉴턴을 생각하며 감사하는 마음을 갖자.




  오늘 이렇게 알아본 미적분학의 기본정리가 사실은 여기서 더 일반화될 수 있다. 지금은 정적분을 하는 영역이 1차원 영역의 일부분이지만 정의역이 2차원, 3차원 혹은 그 이상의 차원인 경우에도 미적분학의 기본정리에 대응하는 정리가 있다. 2차원의 경우 Stokes' theorem이라 하고 3차원의 경우 Gauss' theorem이라고 하는데 이것들을 통틀어 Generalized FTC라고도 한다. 스토크스 정리에 대해서는 다음 시간에 이어서 하도록 하겠다.


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  1. 창실 2014.04.16 09:02 신고

    e^(x^2)의 정적분값을 근사치가 아닌 정확한 값으로 구할 수 있는가요?

  2. 이재우 2014.05.17 17:53 신고

    중간값정리라고 하신거 오타 이신거 같아용~Mean value theorem 이부분이요

  3. 임정민 2014.07.19 15:22 신고

    이미 루트2 같은것도 십진법으로는 '정확한 값'을 구할수 없네요. 무리수는 언제나 이름을 붙여야만 가능.
    그러므로 이름을 하나 붙이고 정확한 값이라고 말해버리면 될듯.

  4. 명가공인 2014.11.03 13:56 신고

    음냐... 수학을 잘 못했던 저에게는 외계인 용어 같은 느낌이 드는 군요.^^
    블로그 와 주신거 보고 답방차 들렀습니다.

  5. ananas03 2015.01.30 12:12 신고

    읽으면서 정말 감탄을 하게 됩니다
    올리신 모든 글을 정독해야 겠습니다
    감사드려요.

  6. noba7382 2015.06.19 21:54 신고

    유한개의 점에서 불연속이어도 정적분이 정의된다 라는 의미같은데, 그게 어째서 가능한가요
    라플라스 변환보다가 궁금해서 찾아보게 되엇습니딘

리만적분

Riemann Integral




  다음과 같은 상황을 생각해보자.


어떤 함수 f(x)가 구간  [a,b]에서 x축과 이루는 넓이를 구하고자 한다.



고등학교때는 


1. 구간을 n등분하고

2. 등분시킨 각각의 subinterval들의 왼쪽이라 오른쪽의 x값에서의 함수값을 취한다.


그리하여 다음 합을 생각한다. 



위 값이 n이 무한히 커질때 수렴하면 그 값을 함수f의 구간 [a,b]에서의 리만적분이라고 한다.



그런데


꼭 구간을 균등하게 잘라야 하나?

함수값을 꼭 subinterval의 양 끝에서만 골라야 하나?


아니다. 그렇지 않다. 우리가 그렇게 배운 이유는 그렇게 해야 이해하기 쉬우니까였다. 진짜 리만적분을 알아보자. 먼저 리만 적분을 정의하는데 필요한 것들이 있다.



위 3개를 가지고 다음과 같은 급수를 셋팅하자.



이렇게 정한 급수(series)를 리만합(Riemann sum)이라 한다. 


Bartle 책을 보면 저기 저 ξ 를 tag 라고 한다. 그렇지만 저거의 이름이 있든 없든 뭐 중요한건 아니니까 넘어가도록 하자. 이렇게 셋팅한 급수는 파티션 Γ를 잡는 방법만큼 무한히 많이 다양한 값을 가질 수 있다. 그런데 파티션 Γ의 길이(norm)이 방법이야 어떻든 0으로 수렴하도록 한다면, 즉, 잘게잘게 쪼갠다면 그때 수렴할 수도 있다. 만약 수렴한다면 그 값을 a에서 b까지 함수 f의 정적분이라고 정의하는 것이다. 참고로 무한히 많이 자른다고 파티션의 길이가 0으로 수렴하지는 않는다. 한번 잘 생각해보자.


리미트 밑에 무엇이 0으로 가는지 잘 살펴보자.


진정한 리만적분은 고등학교때 배운 리만적분과 달리


1. 정의역을 아무렇게나 막 자르되 많이 자를수록 가장 큰 subinterval의 크기는 0으로 수렴하고

2. 함수 값을 그 subinterval 안에서 아무 x나 골라서 취한다.


이렇게 했을때, 그 급수가 n이 커짐에 따라 일정한 값으로 수렴하면 그때 그것을 리만적분이라 한다. 그림으로 나타내면



꼭 균등하게 자를 필요는 없다

빨간 점이 ξ, 즉, tag다.


|는 가장 큰 sub구간의 길이


실제로 이렇게 계산하려면 거의 불가능하기 때문에 균등분할을 사용하는 것이다. 그렇다면 균등분할을 하면 리만적분 값으로 수렴할까? 자르는 방법에 따라 다르지 않을까?


다행히도 리만적분이 가능한 함수들은 구간을 나누는 방법이 아무리 다르더라도 구간의 norm(가장 긴 subinterval의 길이)이 0으로 수렴하기만 한다면 항상 같은 값으로 수렴한다는 것이 모든 책에 다 나와있다. 어떻게 자르든 작아지게만 자르면 되니까 가장 편한 방법인 균등분할을 하는 것이다.


리만적분 이론에서 가장 중요한 질문은 


어떤 함수들이 리만적분이 가능한 함수들인가?


이다.


이런 질문에 대한 답은 여러 해석학 책에 다 나와있으니 이곳에서 다루지 않겠다.

(정답 : 적분 영역 내에서 불연속인 점을 모은 집합이 measure zero 집합인 경우)


그렇다면 리만적분이 짱인가? 결코 그렇지 않다. 적분에도 여러 종류가 있는데 어떤 함수들은 리만적분이 불가능하지만 다른 적분으로는 계산이 가능하다. 바로 디리클레 함수가 대표적인 예.



아무리 구간을 잘 자르려고 해도 적분 값이 들쑥날쑥이다. 수렴하지 않는다. 그런데 르벡이 고안한 르벡적분으로 계산하면 이 함수의 적분값은 0이다. '행복한 하루'님의 의견을 수렴해서 좀 더 자세히 설명하자면



이 경우 디리클레(프랑스 사람이니까 프랑스 발음으로는 디리쉴레) 함수는 불연속점이 uncountable하게 많다. tag를 어떻게 잡느냐에 따라 아무리 파티션을 잘게 자른다한들 적분 값이 저렇게 적어도 두가지 경우가 항상 가능하므로 수렴하지 않느다 ㅠㅠ


그리고 역으로 생각해볼 수 있는게,


어떤 함수 f가 어떤 영역에서 리만적분가능하다면 다음과 같이 기술할 수 있다.


S(f;Γ)는 위에서 말한 리만합.


리만적분이 가능하면 δ보다 작은 적당한 norm값을 갖는 적당한 파티션을 있어서, 이 파티션을 가지고 만든 리만합과 정적분값 ∫ f 의 차이를 원하는 만큼 줄일 수 있다는 뜻이다.


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  1. 즐거운하루 2014.04.13 21:26 신고

    아주 잘보고 있습니다만... 제가 아주아주 초보라... 조금만 더 자세히 적어주셧으면 합니다..ㅠㅠ 책들은 다 영어고 양도 많고 해서 엄두가 나질 않아요 부탁드립니다...!!

    • 안녕하세요^^ 또 방문해주신건가요 ㅎ 감사드립니다.
      좀 더 보충 설명을 곧 올리도록하겠습니다. 저는 일일이 다 설명하기보다는 전체적인 흐름을 잡는 글을 쓰는게 주 목적인데 그래도 이 글은 너무 설명이 빈약해보이네요 ㅠㅠ

    • 즐거운하루 2014.04.17 17:36 신고

      아니에요.. 제가 너무 기초를 몰라서... 사실 원론을 거의 안듣다시피햇고 지금 중간고사기간이라 마음이 급하네요 ㅎㅎㅎ
      좋은자료들 정말 감사합니다!!

  2. 창실 2014.04.14 22:42 신고

    고등학교 때 배운 적분과 대학교에서 배우는 리만적분의 차이의 핵심을 잘 나타냈네요

  3. 2014.10.22 02:22

    비밀댓글입니다

  4. Iluvmath 2015.01.26 01:33 신고

    수업시간때는 tag를 각 직사각형의 좌우 2가지 값으로만 했었는데, 여기서 좀더 본질적으로 다뤄주시네요. 다소 지루했었던 과목이었는데, 여기서 재미를 얻어갑니다.

  5. ㅎㅎ 2015.06.01 16:49 신고

    결국 리만적분이라는게 고등학교 때랑 다른건 구간을 균일하지 않게 설정해도 된다라는 의미가 추가되는건가요? ㅎㅎ 미적분학 ㅠㅠ 재밌으면서 어렵네요...

  6. 4123 2015.08.01 22:37 신고

    하아.. 과외하는데 잘못알려줬네요. [0,1]에서 정의된 유리수일때만 1 이고 무리수일땐 0 인 함수를 리만적분이 안되서 적분이 안된다고 해버렸는데, 르벡적분이란것도 있었군요. 아 ㅜㅜ

  7. ㄷㄷ23 2015.12.14 02:42 신고

    적분가능 조건에서 정의역이 countable하게 discontinuous 하면 되는건가요? f에 관계없이? bounded 되지 않은 f는 상관이 없나요. 만약 f(x)=1/x when x<0, f(x)=0 when x>0이라고 하면 discont한 점은 x=0 하나인데 f는 (리만)적분 가능하지 않은것 같은데요.

  8. kei01108 2016.05.04 22:24 신고

    와...진짜 ...감사합니다!!완전 구세주에요 ㅠㅠㅠ짱짱

  요즘에 공부할 마음이 들지 않아서 공부를 거의 안하고 있다. 그나마 블로그에 글 올리는게 소소한 즐거움이라서 숙제를 풀어서 여기에 올리겠다고 마음 먹어야 공부를 할 것 같아서 이번 학기 해석학 과제를 여기에 풀어서 올리고자 한다.



교재 : Measure and Integral

저자 : Wheeden and Zygmund


Selected Exercises


Chapter 1.



Solution.


교집합이 공집합인 만나지 않는 두 닫힌 집합 사이의 거리가 0일 수 있을까? 처음에는 불가능할 것 같지만 가능하다. 그러나 둘 중 하나가 컴팩트집합이면 거리가 항상 0보다 크다. 대부분의 일반위상수학 교재에 연습문제로 나오는 것으로 알고 있다. 내 풀이에서 저 두 집합이 closed이고 disjoint임을 왜 안 보이냐고 따지면 할 말이 없다. 그런 간단한 것까지 석사생에게 증명을 요구하면 앞으로 문제 풀이가 엄청나게 길어질 수 밖에 없다.




Solution.



뭐.. 가볍게..




Solution.



13번을 이용하면 간단하게 한 큐에 끝.




Solution.



리만적분가능의 정의와 균등수렴을 활용해서 가볍게 끝낸다. 문제 속 bounded 조건을 풀이과정에 사용하지 않았지만 괜찮다 왜냐하면 저 bounded는 리만적분가능성을 보장해주기 위해 나왔기 때문이다.




Solution.



문제만 길지 무지 쉬움.



Chapter 2.



리만-스틸체스적분 문제다.


Solution.




리만적분과 달리 리만-스틸체스 적분은 공유하지 않는 성질이 좀 있다.


Solution.



이 반례가 실제로 저러한지 증명을 해야하지만 사실 그 증명은 책에 나와있다.




Solution.






Solution.




Chapter 3. 




Solution.






Solution.





Solution.






Sol.





Sol.






Sol.






Sol.





Sol.



Chapter 4.




Sol.






Sol.






Sol.






Sol.




Chapter 5.



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  1. 2016.02.23 03:00

    비밀댓글입니다

    • 오랜만에 보니까 이해하는데 한 1분 걸렸네요^^;

      네, 맞습니다. 함수 f가 음수이고 alpha가 양수라면 좌변의 measure가 0이 되어서 안됩니다.

      사실 저 명제는 적분의 lower bound를 measure로 알려주는 것이라서 f와 alpha가 양수라는 특정한 상황이 주어져야 부등호 방향을 제대로 잡을 수 있습니다. 부호가 달라지면 부등호 방향이 그에 맞춰서 달라지면 됩니다.

      적분이론들을 공부하면 대부분의 경우 논의를 간단히 하기 위해 함수들을 간단하게 가정하는데요. 이렇게 하더라도 일반적인 함수를 다루는데 아무런 지장이 없습니다.

      왜냐하면 음수인 함수 g = -f for some f > 0라고 두고 정리를 f에 대해 적용하여 결과를 그에 대응하여 얻어내면 되고, 중간중간에 부호가 바뀌는 함수는 구간마다 나누어서 정리들을 적용하면 되기 때문입니다.

      다행히도 적분에는 구간별 적분의 합이 구간 전체의 적분과 같다는 성질이 있기 때문이죠.

  2. I Seul Bee 2016.02.23 03:12 신고

    처음부터 끝까지 쭉 읽어봤습니다. 깔끔하고 멋진 풀이가 많네요. 게다가 사이사이에 적힌 주옥같은 멘트도 좋고요.
    앞으로도 좋은 글 부탁드립니다^^

  3. shuiki 2016.03.14 20:48 신고

    질문 하나 드려도 될까요?
    챕터1에 16번 문제에서, |R_{\Gamma}^n \to R_{\Gamma}^*| < \epsilon / 2v(I) * v(I) = \epsilon / 2 가 되어있는데요. 위의 |f-f_n| < \epsilon / 2v(I) 에서 넘어가는 부분이 어떻게 되는건지요?

수열의 극한 (2)

Limit of Sequence of Numbers (2)




지난 시간에 수열의 정의와 수렴의 정의를 알아봤다. 이제 메인디쉬를 먹어보자.


해석학 책에서 가장 먼저 만나는 수열의 극한 정리는 뭐 수렴하는 수열이 사칙연산에 대해서 그 결과가 각 결과의 사칙연산과 같다는 흔한 정리이고 본격적으로 나오는 의미있는 정리는 단조유계수열의 수렴성이다. 여기서 단조(monotone)



유계(bounded)



이다.


정리의 내용은 직관적으로 이해하기 쉽다.



증명은 교과서에 자세히 나와있으니 생략하겠다. 이 글은 학습 방향을 잡아주는 글임을 명심하자.


위로 막혀있는데 계속 증가하는 수열은 반드시 수렴한다


단조감소수열의 경우는 위 명제가 어떻게 바뀔지 학습자가 생각해보도록 하자.


그런데 우리가 만나는 대부분의 수열들이 항상 단조, 유계일 수는 없으니 위 정리는 특별한 경우에 한해서만 쓸 수 있는 굉장히 제한된 정리다. 그래서 다른 조건들을 찾아보기 전에 왜 다른 필요충분조건을 찾아야 하는지 생각해보자. 우선 수열의 극한의 정의를 살펴보자.



무엇이 문제냐면 우리는 수열이 수렴함을 증명해야 하는 상황인데 어디로 수렴하는지 제대로 찍지 못하면, 즉, α를 모르면 아예 쓸 수 없는 정의다. 그렇다면 α를 모르는 상황에서도 사용할 수 있는 조건은 뭐가 있을까? 그것은 바로 limsup과 liminf를 통한 필요충분조건이다. 상황은 간단하다.



뭐 사실 임의의 N에 대해 다음이 성립하니까



극한을 씌워서 (limsup과 liminf는 항상 존재하므로) 상극한과 하극한이 같아지면 샌드위치 정리에 의해 원하는 결론을 얻는다. 


출처 : 위키피디아-cauchy sequence

수렴하는 수열과 상극한 하극한의 관계를 잘 보여주는 그림




  그러나 이 방법도 문제가 있다. 상극한과 하극한은 실수열과 같은 거리공간인 스칼라필드에서만 가능한 방법이고 벡터열(sequence of vectors)이라면 벡터의 상한, 하한은 정의하지 않았으므로 사용할 수 없다. 굉장히 협소한 필요충분조건이다. (하지만 벡터의 각 component별로 적용한다면 가능하기도..)그렇다면 다른 건 뭐 없을까? 해석학을 하면 언제나 구원투수로 나오는 사람 중 하나인 코시가 이 문제를 매듭지었다. 그건 바로 코시열(Cauchy sequence) 카우치가 아니다. 코시열은 다음과 같이 정의한다.



어떤 수열이 코시열이라하면 n, m이 적당히 커져서 어떤 N 후부터 수열 값의 차이가 원하는 만큼(입실론) 작아질 수 있는 수열이다. 실수와 같은 완비공간(complete space)에서는 다음 정리가 성립한다.



어메이징하지 않은가?? 이 정의는 벡터열에 대해서도 적용가능하고 수열의 극한값에 대한 사전 정보가 없어도 적용할 수 있다.


  사실 수렴하는 수열이라면 시간이 많이 지난 후에 자기들끼리 모여있어야 한다는 건 직관적인 사실이니까 코시열이면 수렴하는 수열이라는건 당연하다. 교과서를 보면 이 명제의 증명이 잘 나와있다.  자, 그렇다면 이제 정말 문제는 없는 것일까? 아니다. 항상 일장일단이다. 코시열의 문제점은 임의의 수열에 대해서 임의의 an과 am의 차가 계속 작아짐을 보이는 것은 사실 불가능하다. 이론적으로는 아름답지만 실제적으로는 안습. 그래서 코시열의 정의는 어떤 수열이 발산함을 보일 때 사용한다. 캐안습 왜냐하면 발산함을 보이는 것은 코시열의 정의에 대한 해당 수열의 반례 하나만 찾으면 끝나기 때문이다. 


※ 수열의 극한 단원에서 가장 중요한 정리는 사실 볼차노-바이어스트라스의 정리다.


유계인 수열은 항상 수렴하는 부분수열을 갖는다는 정리인데 이 부분은 이곳에서 다루지 않겠다. 주제를 벗어나므로.




그렇다면 항상 코시열은 수렴하는 수열일까? 그건 아니다. 이건 위상수학에서 답해준다. 실수에서는 항상 수렴하는 수열이다.

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  1. 창실 2014.04.10 11:30 신고

    상극한, 코시열과 같은 각각의 개념은 익히 알고 있었지만 전체적인 흐름에 관한 설명을 접하고 나니 한결 더 이해가 깊어지네요~

    • 제가 블로그에 올리는 전공 글들은 주로 개념 하나하나를 자세히 설명하는 것보다는 이미 개념을 알고 있는 사람들이나 이제 막 공부하는 사람들에게 방향을 제시하고 큰 그림을 보여주려는 목적입니다. 창실님께서는 제가 타겟으로 정한 독자에 정확히 부합하십니다. 그래서 뿌듯합니다 ^^ 사실 항상 글을 쓰면서 좀 대충 쓰는 것 같아서 걱정을 합니다. ㅎ

  2. 즐거운하루 2014.04.13 21:13 신고

    감사합니다. 해석학 이제 조금은 할수...?잇을꺼같네요 큰 틀을 잡아가는거 같습니다!!

수열의 극한 (1)

Limit of Sequence of Numbers (1)




  해석학을 배우면 초반에 만나는 고비가 바로 수열의 극한이다. 수열의 극한을 배우기 전에 실수의 완비성(Completeness of Real numbers)을 배울때 만나는 상한(Supremum)과 하한(Infimum)을 이해하고 나면 고등학교때 당연하다고 배운 수열의 극한을 입실론을 이용해 엄밀하게 정의하고 증명하는 단원에 다다른다. 이때 조심해야 할 것이 있는데, 처음에 해석학을 접하는 사람에게는 정리의 내용들이 잘 눈에 들어오지 않을 뿐더러 증명도 여지껏 쉽게 쉽게 넘어가던 방식이 아니어서 단원 전체에서 무엇을 말하고자 하는지 이해하지 못하고 넘어가기 일쑤다. 그래서 오늘 이 시간 이 글에서 학부 2학년 즈음에 배우는 해석학에서 말하고자 하는 수열의 극한 내용들을 짚어보고자 한다. 사실 별거 없다. 어떤 해석학 책이든지 수열의 극한 단원은 다음 질문에 답하는 것이 목표다.


Main question. 수열이 수렴할 필요충분 조건은 무엇일까?


이 질문에 답하기 위해


1. 수열이란 무엇인가?


2. 수렴한다는 것은 무엇인가?


에 답해야 한다.


그렇다면 수열이 무엇인지 답해보겠다. (사실은 수열을 정의하는 것이겠지)


수열은 '수의 나열'이다. 열에 해당하는 영단어가 sequence이고 수는 numbers다. sequence 자체가 수열이 아님을 명심하자.


수열은 엄밀하게 말하면 자연수 집합을 정의역으로 갖고 임의의 수집합(하지만 대부분 실수집합)을 공역으로 갖는 함수다. 명심하자 수열은 함수의 정의를 만족시킨다. (실수를 값으로 갖는 수열의 극한을 다룬다면 그것은 실해석학이고 복소수라면 복소해석학이 되겠다) 먼저 수열이 왜 함수인지 알아보자. 다음과 같은 수열을 생각해보자.


$$\{a_{n}\}_{n=1}^{\infty}, a_{n}=\frac{1}{n}$$


수열을 제대로 표기하면 위와 같이 해야한다. 그러나 왼쪽의 집합 기호는 귀찮으므로 대부분 생략하고 오른쪽에 있는 수열의 일반항만 쓰는게 보통이다. 자, 이 경우 다음을 보자.


$$a_{1}=1, a_{2}=\frac{1}{2}, a_{3}=\frac{1}{3}, \cdots$$


그림으로 보면...




그런데 우리가 함수 다룰때 $f(x)$ 이렇게 해서 $f(1)$, $f(2)$ 이렇게 하지 않았었나 싶어서 수열은 그럼 왜 그렇게 안 쓰냐고 반문할 수 있는데 관습적으로 수열은 아랫첨자로 나타내는 것이다.


자, 그러면 이제 수열이 무엇인지 정의했으니 수열이 수렴한다는 것을 수학답게 정의해보자. 고등학교때는 주로 듣던 표현이


한없이 가까이 다가가는 것


이었으나 이 말은 다음 표현이 애매하다.


'한없이'는 수학에서 무슨 뜻인지, '다가간다'는 일상의 언어가 아닌 수학의 언어로 어떻게 표현할 지 먼저 정의해야 한다. 먼저 다음 상황을 생각하자.


A는 B(1)의 롤모델이다. B(1)는 A를 닮고 싶어한다. 가까워 지고 싶어 한다. 그러나 B(1)에게 부정적인 C는 B(1)에게 묻는다.


"네가 얼마나 A를 닮을 수 있을까?"


B(1)이 답한다.


"얼마든지 닮을 수 있어. 내기를 하자."


C가 말했다.

"A의 옷차림을 따라해봐"


B(1)은 A의 옷차림을 따라했다. 전보다 A와 더 닮아진 B(1)를 B(2)이라 하자. 다시 C가 말했다.


"그렇다면 A의 말투도 따라해봐"


B(2)는 A의 말투도 따라했다. C는 다시 한 번 요구하기를


"A의 취미도 따라해봐"


B(2)는 A의 취미도 따라하며 새로운 B(3)가 되었다. 이 내기를 계속할수록 B는 A를 닮아가고 A와 B사이의 차이는 계속 줄어들게된다.


이 비유에 수열이 수렴한다는 것의 느낌을 좀 담아보려 했는데 잘 되었는지 모르겠다. 짧게 표현하자면 수열이란거는 n이 커짐에 따라 수열의 값이 변하는데 이 수열B(n)이 어떤 값 A에 수렴한다는 것은 n이 커질수록 A와의 차이 | A - B(n) | 이 계속 줄어든다는 것이다. 이것을 수학적으로 표현하면


$$\text{For any $\epsilon>0$, there exists $N>0$ such that $|a_{n}-\alpha|<\epsilon$ whenever $n>N$}$$


에구머니나 이게 뭐야라고 느끼겠지만 하나하나 풀어보자. 왜 이 문장이 수열의 수렴을 의미하는 말일까? 어떤 $a_{n}$이 $\alpha$에 수렴한다면 $\alpha$와의 값 차이가 계속 작아질 수 있어야 한다. 그러려면 $n$이 적당히 커야한다. 대화체로 풀어보자.


1. 나는 이 수열이 $\alpha$에 수렴함을 보이고 싶다. 그러니 네가 원하는 만큼 작은 양수 $\epsilon$을 제시하거라.


위 문장이 바로


$$\text{For any  $\epsilon>0$}$$

네가 제시하는 어떤 $\epsilon$에 대해서도


2. 이 수열은 $\alpha$에 수렴하니까 $n$이 계속 커지다가 어느 순간($N$) 이후부터($n>N$) $\alpha$와 수열 $a_{n}$의 차이가 네가 제시한 양수 $\epsilon$ 보다 작아질 수 있다. 그런 순간이 네가 제시한 $\epsilon$에 대응해 존재한다.


$$\text{there exists $N>0$ such that $|a_{n}-\alpha|<\epsilon$ whenever $n>N$}$$

$\alpha$와 $a_{n}$의 차이가 $\epsilon$보다 작아지는 $N$을 찾을 수 있다


such that의 뜻이 'that 이하를 만족하는'이라는 뜻임을 떠올린다면 내가 쓴 저 대화체 내용을 이해할 수 있을 것이다.


  이론적인 이해는 여기까지고 실제로 수열의 극한을 증명하는 것은 매우 어렵다. 교재에 나오는 예제들은 구할 수 있는 쉬운 것들이고 실제로 임의의 수열이 주어지면 이것이 수렴하는지 발산하는지 판별하는 것은 거의 불가능하다. 그리고 이 수열의 극한 정의를 $\epsilon-N$ 논법이라고 하는데 실제로 어떤 수열이 수렴함을 $\epsilon-N$논법을 활용해 보이려면 임의의 $\epsilon$에 대응하는 $N$을 직접 찾아야 한다. 이 부분이 어렵다. 이런 내용들은 교재에 잘 나와있으므로 이 글에서 방향을 알았다면 책을 보도록 하자.




  내가 설명이 부족해서 그럴 수도 있겠지만 수학이라는게 원래 처음에는 좀 어려운 법이다. 이 글이 도움이 되길 바라지만 한 번에 되지 않는다고 낙심하지 말고 계속 이해하려고 노력해보자. 다음 시간에는 본격적으로 수열의 극한 내용들을 알아보자.

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  1. 조금 위험한 상상일지는 모르겠지만... 입실론 델타 논법에 오류가 있다면... 세상이 어떻게 바뀔지 궁금합니다.
    완벽하다고 믿고 쓰고는 있지만 오류가 있다면 엄청난 파장을 불러 일으킬것만 같네요.^^ 포스팅하신 글 잘 읽었습니다.

    • 입실론-델타의 근본적인 아이디어는 무한을 최대한 수학에서 배제하고자 하는 당시 수리철학과 관련이 깊습니다. 덕분에 빡세고 어려워졌지요. 그래서 아브라함 로빈슨이라는 수학자가 입실론-델타가 아닌 다른 방법으로 극한을 정의했는데 이 해석학을 비표준해석학이라고 합니다. 제가 존경하는 쿠르트 괴델이 비표준해석학을 보고 앞으로 100년을 이끌 새로운 수학이라고 극찬했었는데요 아쉽게도 수학자들의 보수적인 속성때문인지는 몰라도 주류 수학이 되지는 못했습니다.

      방문해주셔서 감사드립니다 ^^ 즐겁게 구경하시기 바랍니다.

  2. 후헹헹 2014.05.03 15:35 신고

    몬소리지 엡델 논법에 오류라니..... 이게 오류가 있다 없다를 따지는건 수학문제도 아닐거 같은데.... 당연히 수학 을 일상이랑 비교하면서 잘못된 오류를 범하면 안돼겠죠 시간과 빛이 만나는 곳 님 엡델에 오류가 어떤게 있나요? 혹은 있을수 있는가능성이 보이는 문제가 있나요?

    • 오류가 있다고 한적은 없습니다. 가정(IF)을 전제로 이야기를 한것이고요. 오류 가능성이 없다고 단정할 수 있는 근거는 뭐가 있나요???

  3. 가을태양 2014.12.30 13:38 신고

    "에구머니나 이게 뭐야라고 느끼겠지만 하나하나 풀어보자." <-- 부분에서 빵 터졌습니다 ㅎㅎ 학부 해석학 입문에서 느낀 그 느낌이네요 ㅎㅎ 재밌습니다. 고마워요 ㅎ

  4. 이태현 2016.03.06 11:50 신고

    감사합니다.... 겸손하시고 정말 대단합니다 ㅠㅠ... 저도 이러한 마음으로 꾸준히 학문을 추구하는 사람이 되고 싶어요!

:: 이 글은 필자가 학부 재학 중 레포트 형식으로 낸 것 중 일부입니다 ::





1. 벡터


  함수해석학은 흔히 무한차원 선형대수학이라 불린다. 함수해석학에 다루는 공간은 기본적으로 무한차원 벡터공간이고 이 공간의 원소들은 일반적으로 함수다. 대부분의 이공계 전공자들이 벡터를 다루는 공간이 유한차원인 n차원 유클리드 공간인데, 이 공간의 벡터는 다음과 같이 표시한다.



여기에서 실수집합 R은 scalar field라 불린다. 그렇다면 무한차원 벡터는 벡터를 구성하는 component의 수가 무한이라는 것인데 과연 어떻게 나타낼 수 있을까? 우선 간단히 수열을 생각해볼 수 있다.



이 경우 이 수열은 무한차원 벡터공간의 원소가 된다. 그리고 차원은 Aleph zero가 된다. 그렇다면 더 일반적인 uncountable 차원의 벡터공간의 원소는 과연 무엇일까? 답은 함수다. 함수가 왜 벡터의 정의를 만족하는지 알아보기 위해 간단한 함수를 생각해보자.



여기에서 우리는 f(1) = 2, f(2) = 4, … 임을 알 수 있다. 마치 수열에서 3번째 항을 x(3) = x3 으로 보는 것처럼 함수에서 k번째 component를 알고 싶을 때, f(k)를 알면 된다. 여기에서 k에 자연수 아닌 모든 실수를 넣을 수 있으므로 함수 f(x)는 uncountable dimensional vector가 되고 기존의 벡터의 정의도 만족시킨다.




2. 벡터공간


 n차원 유클리드 공간에서 한 벡터의 길이를 보통의 경우 다음과 같이 정의한다.



이를 흔히 Pythagorean norm이라 한다. 이외에도



등이 있고 norm 기호에 있는 아래첨자에 따라 Lp-norm이라 부른다. 그리고 수학에서 벡터의 길이(norm)을 정하는 방법은 norm의 정의를 만족하는 방법에 따라 얼마든지 많을 수 있다. 일단은 위의 norm들을 가지고 무한차원 벡터공간에서의 norm을 찾아보자. 수열을 모아둔 수열공간에서의 정의는 별로 어렵지 않은 듯하다.



이렇게 확장할 수 있다. 다만 위에서 정의한 norm들이 항상 유한한 양의 값을 갖느냐는 문제가 생기므로 무한차원 벡터공간(이 경우 수열)은 위에서 정의한 norm에 대해서 수렴하는 수열들을 모은 공간으로 정의해야 한다.

  함수의 경우, uncountably many terms를 무턱대고 더하면 거의 대부분 발산하므로 정적분을 이용해 정의하는 것이 좋다. 정적분은 무한급수의 합이므로(함수공간에서 norm을 정할 때 사용하는 적분은 르벡적분이지만 르벡적분도 결국에는 무한급수의 합이다. 다만 급수를 정의하는 방법이 리만적분과 다를 뿐이다.) 위에서 정의한 방법과도 결국 비슷한 느낌이다. 따라서



여기에서 적분구간은 임의의 interval로 해도 되지만 그런 것들은 모두 [0,1] 구간의 적당한 scaling으로 나타낼 수 있으므로 위와 같이 정의해도 별로 무리가 없다. 이런 norm들이 정의된 벡터공간을 Banach space라 부른다.


출처 : 클릭




3. Functionals


  Functional이라는 단어는 형용사처럼 생겼지만 수학에서 특별한 형태의 함수를 지칭하는 명사다. 수많은 함수들 중에서 벡터공간을 정의역으로 가지고 공역을 실수(해당 벡터공간의 scalar field)로 갖는 함수들을 functional이라 부른다. 예를 들면



이런 것들이다. 이런 functional 중에서 다음과 같은 선형성을 만족하는 functional들을 Linear functional이라 부른다.



함수해석학에서 함수보다 functional을 더 중요하게 다루는데 왜냐하면 물리나 공학에서 다루는 함수들이나 알아야 하는 식들이 대부분 functional인 경우가 많기 때문이다. 예를 들자면 물리에서는 다음과 같은 종류의 식들을 자주 볼 수 있다.



위에 나온 f의 정의역은 함수공간이고 공역은 실수공간이다. 즉, 실제로 함수보다는 functional이 더 중요한 경우가 많다. 변분법에서 다루는 것들이 functional이기도 하다.


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  1. 2014.04.03 13:10

    비밀댓글입니다

  2. 피카츄의 역습 2014.08.10 19:31 신고

    정확히 노름완비가 바나흐고 바나흐공간의 특수한경우로 힐베르트 공간을보죠 내적완비 함수해석학은 몇학년때배우나요?

  3. topy 2015.03.21 21:18 신고

    사무형 함수해석학 연재좀 해주세요(__) 굽신(__)


출처 : http://ko.wikipedia.org/wiki/상극한과_하극한


  해석학을 공부하다보면 나오는 $\lim{\sup}$과 $\lim{\inf}$. 이 두 개념을 사용하지 않는 책들도 꽤 많지만 수학을 더 공부하다보면 언젠가 한번은 마주칠 개념이다. 예를 들어 르벡적분같은데서. 일단 저 두 녀석은 뭐라고 읽어야 할지 감도 잘 안 온다. 읽는 법은


$\lim{\sup}$ : limit superior

$\lim{\inf}$ : limit inferior


림썹, 림인프 이렇게 읽지 않도록 주의하자. 리미트 수피리어 인피리어 이렇게 읽도록 하자.


개념을 이해하기 위해 적당한 예로 수열 하나를 생각하자.


$$\{a_{n}\}_{n=1}^{\infty}, a_{n}=\frac{(-1)^{n}}{n}$$


우선 적당한 N에 대해 $\sup$을 정하자.


$$\sup_{n>N}{a_{n}}=\sup{a_{N+1}, a_{N+2}, \cdots,}$$


예를 들어 N = 100 이면 수열의 100번째 항 다음부터 모든 항들을 고려해 그 중에서 supremum(상한)을 구하는 것이다. 쉽게 말해 '앞의 유한개 항을 제외하고 구하는 supremum'이다. 여기서 N은 사용자가 필요에 따라 얼마든지 정할 수 있는 것이다.


N = 100인 경우에 한 번 우리가 예로 든 수열에서 구해보자.


$a_{101}=-\frac{1}{101}, a_{102}=\frac{1}{102}, \cdots$


이렇게 되니까 앞으로 n이 커질수록 1/102보다 큰 수가 나올 수가 없으므로 이 경우 답은


$$\sup_{n>100}=\frac{1}{102}$$


이 sup은 N에 대해 중요한 성질이 하나 있다. 그것은 바로 단조성.


$$\sup_{n>N+1}{a_{n}}\le\sup_{n>N}{a_{n}}$$


이유는 당연하다. 우변에 있는 SUP은 더 많은 후보들을 놓고 찾은 SUP이고 좌변은 그 반대니까 말이다. 비유로 표현하면 서울 최고 부자와 한국 최고 부자를 뽑으면 더 많은 사람들 속에서 찾은 사람인 한국 최고 부자가 당연히 더 부자 아니겠는가. 물론 둘이 일치하는 경우에는 등식이 성립하겠지만.


자 이제 우리의 주인공 limsup을 알아보자.


사실 별거 없다. 정의는 다음과 같다.


$$\lim_{N\rightarrow\infty}{\sup_{n>N}{a_{n}}}$$


이걸 줄여서 표시하면


$$\lim_{n\rightarrow\infty}{\sup{a_{n}}}$$


이렇게들 많이 쓴다.


뜻은 뭐.. 우리가 처음에 N번째 항 다음부터의 수열의 상한을 고려했는데, 이번에는 이 N을 점점 키워가면서 그때의 상한이 어떻게 되는지 즉, N이 무한히 커질때 상한의 극한은 무엇인지 알아보고자 하는 것이다. 우리가 처음에 예로 든 수열의 경우,


$$\sup_{n>N}{a_{n}}=\begin{cases}\frac{1}{N+1} & N \text{ is odd} \\ \frac{1}{N+2} & N \text{ is even}\end{cases}$$


이렇게 되니까


$$\lim_{N\rightarrow\infty}{\sup_{n>N}{a_{n}}}=\begin{cases}\lim_{N\rightarrow\infty}{\frac{1}{N+1}}=0 & N \mbox{ is odd} \\ \lim_{N\rightarrow\infty}{\frac{1}{N+2}}=0 & N \mbox{ is even}\end{cases}$$



limsup과 liminf는 그냥 lim와 달리 extended real line에서 항상 존재한다. 즉, 양의 무한대와 음의 무한대를 실수의 구성원으로 인정할 경우 어떤 수열의 극한은 진동하여 존재하지 않는다하더라도 상극한과 하극한은 항상 존재한다. 그래서 다음과 같은 내용이 성립한다.(단조성)


$$\lim_{n\rightarrow\infty}{\sup{a_{n}}}\le\cdots\le\sup_{n>N}{a_{n}}\le\cdots\le\sup_{n>0}{a_{n}}$$


Limit Inferior 하극한도 같은 방법으로 정의한다. 다만 이 경우 sup대신 inf를 사용! Limit superior에서 성립하는 내용이 Limit inferior에서 어떻게 성립하는지 생각해보길 바란다.





Q. 도대체 이런건 왜 정의했는지?

A. 뭐.. 일단 여기저기 써먹으려고 했겠지.. 라고 하면 성의없는 답변이고 일단 가장 1차적으로 수열의 극한의 존재성을 증명하기 위해 나온 개념입니다.


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  1. hop210 2014.04.24 10:49 신고

    글 질봤습니다ㅎㅎ 저는 limsup과 liminf이 항상 존재한다는게 이해가 안되는데 혹시 이거에 대해 자세히 설명해줄수있나요?

    • 원래 해석학에서는 진동도 발산이라고 하지만 세부적인 상황을 따지다보면 결국 진동과 무한대를 구별하는 경우가 많은데요. extended real line도 결국 그런 셈이죠. 진동하는 경우는 배제되었으니까요.

      extended real line은 기존의 실수선에 -∞ 와 +∞ 를 넣은 것 입니다.
      그런데 sup a_n과 inf a_n은 monotone이니까 발산한다면 ±∞ 경우 외에는 없습니다. 그러므로 수열 a_n은 설령 진동하여 수렴하지 않는다해도 limsup과 liminf는 ±∞ 의 경우까지 포함해서 생각하면 항상 존재한다고 볼 수 있죠. 쟤네는 진동하지 않으니까 ㅎ

  2. hop210 2014.04.26 06:48 신고

    ㅎㅎ 우선 답변 진짜 감사하고요.ㅋㅋ 저는 궁금한게.. 집합E를 subsequential limit of an의 집합이라고 하면(물론 플마무한대 포함한 집합) supE는 집합 E에 포함되잖아요? 근데 정의상 supE=limsupan인데 subsequential limit이 항상 존재한다고 생각할 수 있는건지 궁금해요.ㅋㅋ(supE로 생각해보면 subsequential limit의 supremum이니까요.)

    • hop210 2014.04.26 06:51 신고

      Subsequence라는 게 우리가 sequence중에서 subsequential limit이 최대가 되도록 subsequence를 뽑을 수 있는게 맞는건가요? 제가 질문하고도 너무 말이 이상해보이네요 ㅠㅠ 그리고 정말 좋은 블로그 운영하셔서 감사해요 앞으로 많이 보러올거같아요

  3. 감사합니다 2014.05.24 04:23 신고

    그나마 여기 내용이 직관적으로 가장 잘 이해가 되는 거 같습니다. 책을 3권이나 찾아 봤으나(이런 방법 안좋다 하셨지만..) 여기 설명만큼 상세한 책을 못찾았네요.

    정리나 예제가 이해가 안가면 적당히 넘어갈텐데... 정의가 이해가 안가니 답답했는데, 덕분에 좀 시원해진 기분입니다. 다시 한번 감사드립니다.

  4. paa 2014.10.30 19:10 신고

    오늘 수업시간에 이부분을 배웠어요. 교수님께서도 limsup를 왜배우는지 설명해주셨은데, 작성자분의 설명과 조금 다르네요.
    어떠한 수열에서 극한값이 존재하면, limsup과 liminf값이 같아집니다.
    반대로 극한값이 존재하지 않으면 limsup값과 liminf값이 달라지죠.
    극한값이 존재하지 않을 때, 그 수열이 어떠한 특성을 갖고있는지 좀더 알기 위해 limsup과 liminf개념을 사용한다고 배웠는데(아그리고 나중에 ratio test에도 나온다고 하셨어요!), 어떻게 생각하시나요?

  5. 행인 2015.08.09 01:38 신고

    아니.... 이렇게 쉽게 이해되도록 설명해버리시다니요!! 정말 한학기 내내 헤메다가 외워버린 개념을 이렇게 쉽게 이해하도록 설명해버리시면.... 너무 좋아요!

  해석학을 공부하면서 배우는 테일러급수. 처음에는 그냥 이런 것도 있구나 싶지만 다른 곳은 몰라도 적어도 해석학과 관련있는 미분방정식, 수치해석 그리고 이것들을 활용하는 여러 응용수학 분야에서 매우 유용하게 쓰인다. 오늘은 이 테일러 급수에 대해서 알아보고자 한다.

 


 

1. 테일러 급수란?

 

  일단 역사적으로 Brook Taylor라는 영국의 수학자의 업적이고 이 수학자는 그 유명한 Newton의 스승이다. 자세한 것은 >>위키피디아로<< 아래 그림은 위키피디아에서 가져왔다.

 

 

동기부여를 위해 독자에게 질문을 하나 하겠다.

 

질문. 어떤 두 함수가 정의역의 같은 점에서 함수값이 같고 한번 미분한 도함수 값도 같고 두번 미분한 이계도함수 값도 같고 이렇게 계속 같아서 임의의 자연수 n번 미분한 n계도함수 값까지 다 같으면 이 두 함수는 같은 함수일까?

 

좀더 간략하게 식으로 써보면,


$$\begin{align}
&\text{For two functions $f$ and $g$, let $x_{0}\in$ dom($f$)$\bigcap$dom($g$)}\\
&\text{If $f(x_{0})=g(x_{0})$ and $f^{(n)}(x_{0})=g^{(n)}(x_{0})$ for all $n>1$}\\
&\text{Then $f=g$ at least locally?}
\end{align}$$


여기서 f(x)는 우리에게 알려진 함수라고 가정하자. 그리고 저런 g(x)가 존재한다면 어떻게 생겼을까? 물론 답은 f(x)의 테일러급수겠지만 모른척 하고 생각해보자. 그렇다면 다음 식을 보자.

 

$$g(x)=\sum_{k=0}^{\infty}{\frac{f^{(k)}(x_{0})}{k!}(x-x_{0})^{k}}$$

 

해보면 알겠지만 다음이 성립한다.

 

$$f(x_{0})=g(x_{0}) \mbox{ and } \frac{d^{n}f}{dx^{n}}(x_{0})=\frac{d^{n}g}{dx^{n}}(x_{0})$$

 

음.. 그런데 보면 g(x)는 무한급수라서 조심해야할 것이 많다. 일단,

 

1. 무한급수기 때문에 수렴반경(Radius of Convergence) 내에서만 성립한다.

2. 정확한 값을 구하려면 무한번 계산을 해야한다.

 

헐..? 수렴반경 안에서만 다뤄야하고 뭔가 계산하려면 무한합을 계산해야하는데 이런걸 왜 쓰나? 싶겠지만..

 

 

2. 테일러 급수를 왜 사용하는가?

 

  일단, 우리가 아는 삼각함수, 지수, 로그함수, 유리, 무리함수, 다항함수 등을 초등함수(Elementary functions)라 하는데 실제로 계산할 때, 특히 삼각, 지수, 로그같은 초월함수(Transcendental functions)들의 함수값 계산은 인간의 머리로 불가능하다. 그래서 완벽한 값을 구하는 것은 실제 세계에서 불가능하고 근사값을 구해야하는데 이때 사용하는 것이 테일러급수다.

  예를 들어 지금 당장 계산기에서 자연대수 e를 쳐보자 그러면 2.714어쩌고가 나오는데 이 값을 구하려면 e^x의 테일러 급수를 구해서 적당히 많게 유한항 전개해서(예를 들면 100번째 항까지?) 나온 다항식(100차 다항식쯤 되겠네ㄷㄷ)에 x=1을 넣어서 구해야 한다. 사실 10개정도만 전개해도 괜찮은 근사값이 나온다.

  즉, 테일러 전개는 사람이 수치적으로 다루기 힘든 함수들의 다항식 근사라고 봐도 무방하다.

 

※ 항을 몇개까지 전개해야 실제값과 근사값의 오차가 원하는 만큼 줄어들까에 대한 답은 주로 수치해석시간에 배운다.

 

 

3. 언제 테일러 급수로 표현 가능한가?

 

  그렇다면 모든 함수가 항상 테일러 급수로 전개가능할까? 답은 'No'다. 일단 딱 봐도 알 수 있듯이 먼저 전개하고자 하는 함수 f(x)가 무한번 미분가능해야 테일러급수로 근사할 수 있겠다. 무한번 미분가능한 함수를 smooth function이라고 하는데 그럼 smooth function들은 모두 테일러 전개가 가능할까? 왠지 가능할 것 같다..고 필자가 1학년때 생각했는데 2학년 해석학 시간에 반례를 배웠다. 테일러 전개가 가능한 함수를 해석적 함수(Analytic function)이라 하는데 테일러급수가 수렴할 조건은 사실 워낙 당연한 말이라 처음에 짜증이 날 수도 있다.

 

 

물론 함수열(Sequence of Functions)이다보니 균등수렴(Uniform convergence)은 기본으로 생각하자. 위 식에서 마지막 줄에 나온 0으로 수렴한다는 항을 나머지항이라고 하는데 쉽게 말하면 나머지 항이 0으로 (균등하게) 수렴하면 테일러 급수 g(x)가 f(x)로 수렴한다는 뜻이다.

 

 

4. 테일러 전개가 불가능한 함수의 예

 

$$f(x)=\begin{cases}e^{-1/x^{2}} &x\neq0 \\ 0 & x=0\end{cases}$$

 

이 함수는 x = 0에서 함수값이 0이고 계산해보면 모든 도함수가 0에서 0이다. 그래서 이 함수의 테일러급수라고 추정하는 무한급수는 0 + 0 + 0 + 0 + ... 이건데.. 그냥 0함수다. 그런데 f(x)는 x가 0아닌 곳에서는 0이 아니므로 이 함수는 x = 0에서 무한번 미분가능하지만 테일러 전개가 불가능하다. 많은 해석학 교과서들이 위 함수를 가르치고 위 함수의 n차 도함수가 x = 0에서 항상 0임을 증명하는 문제를 연습문제로 많이 낸다. 이곳에 증명을 올리고 싶지만 증명이 짧지 않아 독자에게 숙제로 맡기겠다.

 

 

5. 테일러 급수가 전개 위치에 따라 다를 수 있다

 

  테일러 전개는 정의역 속 특정한 점 한곳에서 전개하는 것이다. 그래서 어느 점에서 전개하느냐에 따라 똑같은 함수를 테일러 전개했음에도 완전히 다른 급수를 얻을 수 있고 심지어 둘이 아예 아무 상관이 없을 수도 있다. 예를 들어,

 

$$y=f(x)=\frac{1}{x} \mbox{ for } x\neq0$$

 

이 함수를 생각해보자. 여기에서 다음과 같은 두 테일러급수를 생각해보자. 먼저 g(x)는 f(x)를 x = -2 에서 테일러전개한 것이고 h(x)는 x = 1에서 테일러전개한 것이다.

 

$$\begin{align}
&g(x)=\sum_{k=0}^{\infty}{-\frac{1}{2^{k+1}}(x+2)^{k}}\\
&\text{radius of convergence = $2$}\\
&h(x)=\sum_{k=0}^{\infty}{(-1)^{k}(x-1)^{k}}\\
&\text{radius of convergence = $1$}
\end{align}$$

 

일단 둘이 생긴 것부터 다르다.. 이렇게 생각해서 둘이 다르다고 결론 내리면 그건 바보다. 식의 형태는 달라도 얼마든지 같을 수 있기 때문이다. 예를 들면 y = e^x를 서로 다른 두 곳에서 테일러 전개하면 시작 위치는 달라도 항을 많이 더할수록 두 급수가 항등적으로 같아 진다. 그런데 위의 예는 그렇지 않다 아무리 항을 많이 더해서 근사해도 f(x)에서 나온 저 두 급수 g(x)와 h(x)는 절대 같아질 수 없다. 그래프를 그려보면

 

f(x)를 x = -2에서 n = 10까지 전개한 g(x) 의 그래프 

 

 

f(x)를 x = 1에서 n = 10까지 전개한 h(x)의 그래프

 

왜 이리 다를까? 짐작하겠지만 원래 함수 f(x)는 x = 0을 기준으로 singular하기 때문에 두 영역이 분리되어 있고 분리된 곳에서 전개하면 결코 같아질 수가 없다. 앞에서 테일러급수를 local이라는 말을 써서 표현했었는데 local이라는 말이 딱 들어맞는 경우를 방금 보았다. f(x) 그림을 보고 다시 이해해보자.

 

 


[2016.04.03]

균등 연속 -> 균등 수렴으로 수정했습니다. 이걸 2년이 지나서야 발견하다니,,

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  1. 공주 2014.03.26 23:33 신고

    그저대단하시다란생각밖에...몇년째중등임용에떨어진저로선그저대단해보이기만하네요임용쳐보실생각은없으신지...

    • 아쉽게도.. 제가 학부때 교직이수를 하지 않아서요.. 저도 조금 후회하고 있습니다만.. 그리고 임용이라는게 어차피 1차가 굉장히 어렵다고 들었어요. 주변에 임용 본 사람이 많은데요 다들 1차 교육학을 어려워 하더라구요.. 힘내세요 공주님 시험이라는게 매너리즘에 빠지기 쉬운데 잘 극복하시면 이번에는 좋은 결과 얻으실거라 생각합니다.

      p.s : 공부하시면서 수학에서 궁금한 것 있으시면 알려주세요. 제가 답변 가능한 것들은 답변드리도록 하겠습니다.

  2. 지나가는고딩 2014.04.30 15:46 신고

    아주 흥미롭게 읽었어요 이부분이 해석학쪽에 들어가나요? 한번 전공하고픈 생각도 드네요

  3. 괴델 2014.05.02 01:05 신고

    이산수학 수업에서 general function 다루면서 power series가 나오는데 교수님이 테일러 시리즈도 general function의 일부라고 했던 게 기억나네요

  4. jackybrii 2014.11.04 18:38 신고

    와 완전 한번에 이해됐어요 ㅠㅠㅠㅠ 감사합니다 ! 진짜 잘 설명해놓으신 것 같아요. 아무래도 학생 입장에서는 왜 배우는지, 어디에 쓰는지가 제일 중요한 것 같아요ㅎㅎㅎㅎ

:: Notice ::


이 글에 나와있는 내용은 필자가 스스로 알아낸 것이 아님을 밝혀둔다.

참고자료를 열심히 활용했으며 참고자료에서 자세한 계산을 하지 않은 부분을 필자가 보충했다.

참고자료들은 중간중간에 출처를 밝혔으며 맨 마지막 References에 정리해두었다.




  자, 지난 시간에 이어 이번에는 Curl의 정의가 나타내는 의미를 알아보고 과연 Curl이라는 이름을 부여받을 자격이 있는지 생각해보자. 우선 위키피디아에서 컬을 검색해보면 다음과 같은 컬의 다른 정의를 볼 수 있다. 뭔가 original 정의같아 보인다.



 

 


출처 : http://en.wikipedia.org/wiki/Curl_(mathematics)


단위면적당 회전하는 양의 극한이라고 알 수 있다. 물론 이것은 컬의 정의는 아니고 컬에 곡면의 법선벡터(Normal vector)를 내적한 양이다. 즉, 엄밀히 윗 표에 나와있는 것은 컬이 아니다. 컬의 정의는


$\nabla\times F=\left(\frac{\partial{F_{3}}}{\partial{y}}-\frac{\partial{F_{2}}}{\partial{z}}, \frac{\partial{F_{1}}}{\partial{z}}-\frac{\partial{F_{3}}}{\partial{x}}, \frac{\partial{F_{2}}}{\partial{x}}-\frac{\partial{F_{1}}}{\partial{y}}\right)$


이것이다. 참, 아리까리하게 생겼다.


  컬을 비롯한 벡터연산자들은 전자기학이나 유체역학 등의 물리학이 발달하면서 자연스레 정의한 개념들이다. 그래서 벡터미적분학(Vector calculus)를 물리나 공학하는 사람들이 대부분 대학 1학년때 배운다. 초기에 컬을 정의하면서 물리학자들이 의도한 바는 어떤 벡터필드(vector field)가 주어졌을때, 한 점에서의 회전량을 측정하는 수학식이었다. (이것을 영어로 microscopic circulation 또는 microscopic rotation이라 한다) 따라서 컬 자체는 벡터필드가 전체적으로 봤을때 회전하는지 아닌지를 나타내는 양(quantity)가 아니다. 이에 대해서는 뒤에서 벡터필드는 전체적으로 회전하고 있는데 컬이 0인(Curl free) 경우와 반대의 경우를 살펴볼 것이다.

  Curl에 대해 자세히 설명한 Mathinsight의 글 The idea of the curl of a vector field를 인용하자면


To test for curl, imagine that you immerse a small sphere into the fluid flow, and you fix the center of the sphere at some point so that the sphere cannot follow the fluid around. Although you fix the center of the sphere, you allow the sphere to rotate in any direction around its center point. The rotation of the sphere measures the curl of the vector field F at the point in the center of the sphere(The sphere should actually be really really small, because, remember, the curl is microscopic circulation.)


이렇다고 한다. 여기서 중요한 표현이 나오는데 빨간색 줄로 표시한 부분이다. (보통 벡터필드는 유체역학과 전자기학에서 많이 사용하므로 오늘 이곳에서 물의 흐름으로 가정하고 설명하겠다.) 흐르는 물 속 한 곳에서 아주아주 작은 공을 고정시켜 놓는다(상상하는거다 실제로는 불가능하겠지만) 고정시키되 다른 곳으로 움직이지 못하도록 고정시키는 것이지 제 자리에서 회전은 가능하도록 만들어 준다. 그렇다면 물에 의해서 공이 회전을 할 수 있는데 이때 발생하는 회전에 대한 양을 측정하는 것이 바로 Curl이다. Curl은 벡터량이므로 회전 방향과 회전하려는 정도를 알 수 있다. 


그렇다면 Curl의 식이 도대체 이런 벡터량을 나타낸다는 것을 어떻게 알 수 있을까? 알아보기 위해 다시 한번 사고실험(상상으로 하는 실험)을 해보자. 다음과 같이 진행해보자.


1. 흐르는 물 속에 있는 한 곳에 아주 작은 공을 고정시켜서 다른 곳으로 움직이지 않되 제자리에서 회전은 가능하도록 둔다.


2. 이 공에 z축 방향으로 꼬챙이를 꽂아서 고정시킨다. 이제 이 공은 z축 방향으로는 회전하지 못 한다.


이렇게 z축 방향 회전이 금지된 경우에 나타내는 회전량이 식으로 어떻게 되는지 알아보자.



수학에서는 항상 반시계방향(counter-clockwise)이 정방향이다. 그래서 반시계 방향의 관점에서 생각해보자. 우선 반시계 방향으로 저 공을 돌리려면 먼저 두 가지 경우가 가능하다.


1. x방향으로 돌리는 힘을 먼저 생각하고 그 다음에 y방향으로 돌리는 경우

2. y방향으로 돌리는 힘을 먼저 생각하고 그 다음에 x방향으로 돌리는 경우


이 중에서 우리는 2번 경우를 사용하자.

 

이 공이 y축 방향으로 받는 힘은 두 곳에 있다 이 두 힘의 차이만큼이 실제로 공을 돌리려는 힘이므로 아래와 같은 식을 얻는다.


$$F_{2}(x+r,y,z)-F_{2}(x-r,y,z)$$


그런데 우리는 평균적인힘을 원하므로


$$\frac{F_{2}(x+r,y,z)-F_{2}(x-r,y,z)}{2r}$$


우리는 이것의 극한을 생각해서 r을 0+으로 보내는 극한을 취하자


$$\lim_{r\rightarrow0+}{\frac{F_{2}(x+r,y,z)-F_{2}(x-r,y,z)}{2r}}=\frac{\partial{F_{2}}}{\partial{x}}$$


그리고 이제 x방향으로 돌리는 힘은 다음과 같다.


$$-(F_{1}(x,y+r,z)-F_{1}(x,y-r,z))=F_{1}(x,y-r,z)-F_{1}(x,y+r,z)$$


y방향으로 돌리는 힘과 비교해보면 부호가 다르다. 왜냐하면 반시계방향으로 돌린다는 건 사실 x방향이 아니라 -x방향으로 돌리는 것이기 때문에 그렇다. 그리고 이제 여기에서 두 힘의 차이의 극한을 구하면(힘의 차이가 회전을 야기하므로)


$$\lim_{r\rightarrow0+}{\frac{-(F_{1}(x,y+r,z)-F_{1}(x,y-r,z))}{2r}}=-\frac{\partial{F_{1}}}{\partial{y}}$$


이 둘을 합치면


$$\frac{\partial{F_{2}}}{\partial{x}}-\frac{\partial{F_{1}}}{\partial{y}}$$


CurlF의 z방향 성분을 얻는다. x, y방향 성분들도 같은 방법으로 유도할 수 있다.



유의할 점


  앞에서 밝혔듯이 Curl은 미시적인 수준의 회전을 나타내는 양이지 거시적인 회전을 측정하는 것이 아니다. 따라서 다음과 같은 벡터필드가 전체적으로는 회전하는 모양이지만 계산해보면 Curl이 0임을 알 수 있다.



$$F(x,y,z)=\lgroup\frac{-y}{x^{2}+y^{2}},\frac{x}{x^{2}+y^{2}},0\rgroup$$


아래와 같이 생긴 것은 거시적인 회전도 없고 미시적인 회전도 없다.



그렇다면, 미시적인 회전과 거시적인 회전은 아무런 관계가 없는 것일까? 답은 아니다. 둘 사이의 관계에 대한 내용이 바로 그 유명한 Stokes' theorem이다. 스톡스 정리에 대해서는 따로 포스팅할 계획이 없지만 나중에 시간이 된다면 해보겠다. 스톡스 정리에 대해서는 워낙 잘 정리된 글들이 많으므로(그럴 것 같다고 예상함) 잘 찾아보길 바란다.


  다음 시간에는 Curl의 물리적인 의미가 아닌 좀 더 추상적인 의미를 잠깐 알아보도록 하자. 자세히는 하지 않을 예정이다. 


→ 3번째 글 취소합니다. 미분형식을 이용한 설명을 하려면 exterior derivative 등 다양한 사전 설명이 필요해서 지금은 연재하지 않겠습니다.



참고자료(References)


1. http://en.wikipedia.org/wiki/Curl_(mathematics)

2. http://mathinsight.org/curl_idea

3. http://mathinsight.org/curl_subtleties

4. http://mathinsight.org/curl_components

5. http://mathinsight.org/path_dependent_zero_curl

6. http://mathinsight.org/divergence_idea


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  1. 이전 댓글 더보기
  2. 궁디팡팡 2014.04.05 18:18 신고

    저그냥 넷상으로 지나가던사람인데요

  3. 궁디팡팡 2014.04.05 18:19 신고

    스톡스정리와 curl의 연관성
    스톡스정리와 완전미분방정식 연관성
    포스팅좀 젭라

  4. 전자 2014.04.20 20:04 신고

    컬과 다이버전스에 대해서 잘 모르고 있었어서 관련 글을 찾아 보고 있엇는데 가장 도움이 되네요 ㅎㅎ 감사합니다 앞으로도 자주 들리겠습니다

  5. 므아아 2014.05.02 08:29 신고

    수학과가 아니라 쉅시간에 교수님께서 이부분 그냥 넘어가셔서 찜찜했었는데..
    이렇게 잘 써주셔서 이해가 가네요 ㅎㅎ
    감사합니다~~!

  6. ㅁㄴㅇ미미 2014.06.15 23:50 신고

    오호 정말 이해 잘되네요 감사해요~^^

  7. dfsdf 2014.11.24 11:29 신고

    죄송한데..평균적인 힘 2r은 어디서 나오는 건가요...?

  8. dfsdf 2014.11.24 11:29 신고

    죄송한데..평균적인 힘 2r은 어디서 나오는 건가요...?

  9. dfsdf 2014.11.24 11:29 신고

    죄송한데..평균적인 힘 2r은 어디서 나오는 건가요...?

  10. dfsdf 2014.11.24 11:29 신고

    죄송한데..평균적인 힘 2r은 어디서 나오는 건가요...?

  11. ㄴㅇㄹ 2014.11.26 13:19 신고

    으악 여러개가 써졌네요 죄송합니다.

    x,y축 양 끝에 작용하는 평균적인 힘을 2r로 나눠서 얻는다고 하셨는데요, 그 assumption은 어떻게 하셨는지 여쭤볼수 있을까요..?

    f2(x+r,y,z)-f2(x-r,y,z)=f3(x_r,y_r,z_r)

    f3 을 resultant force 로 가정했을때
    2r로 나누면 디스크 resultant force가 작용하는 반대쪽 r도 포함하는 건데... 그건 -z쪽 모멘트까지 다시 포함하게 되지 않을까요..? 어짜피 극한 보내면 상관 없지만서도..

  12. ㄴㅇㄹ 2014.11.26 13:19 신고

    으악 여러개가 써졌네요 죄송합니다.

    x,y축 양 끝에 작용하는 평균적인 힘을 2r로 나눠서 얻는다고 하셨는데요, 그 assumption은 어떻게 하셨는지 여쭤볼수 있을까요..?

    f2(x+r,y,z)-f2(x-r,y,z)=f3(x_r,y_r,z_r)

    f3 을 resultant force 로 가정했을때
    2r로 나누면 디스크 resultant force가 작용하는 반대쪽 r도 포함하는 건데... 그건 -z쪽 모멘트까지 다시 포함하게 되지 않을까요..? 어짜피 극한 보내면 상관 없지만서도..

  13. 질문드립니다 2014.12.09 09:55 신고

    끝이 아닌 부분에서 받는 힘도 공을 회전하는데 영향을 주지 않나요? 중간 어디선가 받는 힘벡터를 공의 중심과 접하는 방향으로 나누면 접하는 방향의 힘이 공을 회전시키는데 영향을 주잖아요 그 부분을 2r이 담당하고 있는 건가요? 2r 에 평균적인 힘이라는 표현이 잘 이해가 가지 않습니다

  14. 질문드립니다 2014.12.09 10:16 신고

    그리고 컬의 값의 의미가 회전축과 회전가속도? 로 알고 있는데 그 값의 정확한 의미도 궁금합니다 저 증명에서 컬 벡터가 회전축 방향과 동일한지 알 수 있는지 그리고 그 크기가 회전속도인지 가속도인지 말이죠 인터넷 다른 곳 설명과 함께 비교해보니 f를 힘이 아닌 속도로 생각하여 설명하는 것도 있던데 어떤 방향이 이해하기 쉬울 지 덤으로 추가설명 부탁드립니다

  15. 탱탱 2015.02.10 16:15 신고

    구-자기장(H)혹은 신-자기장(B)을 컬연산 (CurlH) 해 주면 전류밀도 (J)가 나옵니다.[자기장은 전류와 연관]

    그 뜻은 전류가 흐르면 그 전류의 흐름에 수직방향으로 자기장이 회전하면서 생성되는 것을 먼저 관찰 후 이에 합당한 연산자(operator)를 필요하여 만든것입니다.[자연현상 관찰,발견 => 가설 설정]

    전자기학에서 자연현상을 이론화하면서 자주쓰이지만 3차원으로 풀어 사용할 때 매우 복잡한 일련의 연산을 단순화 하여 표기한 Vector연산자가 Curl과 Div입니다.

    당연 Div는 전기장에 대한 Term이 됩니다.
    전기장(E)혹은 전기밀도(D)를 다이버전스연산 (DivD)해 주면 전하밀도가 나옵니다. [전기장은 전압과 연관]

    스토크스 띠어리도 직관에 의해 가설 설정후 수식으로 증명한 케이스로 보면 되겠습니다.

    다시말해 전기장과 자기장은 상보적인 관계입니다. 전압차(전기장)를 줄이기위해 전류(자기장)가 생기는 자연이 에너지 평형상태로 가는 일련의 현상을 인간이 활용하기 위해 수식화 한것이 멕스웰 방정식이고 거기서 핵심이나 복잡하며 짜증나지만 자주쓰이니 뭔가 에러를 줄이고 시간낭비를 줄이기위해 몇몇 Vecotr특성들을 해석한 것이 수학책에 나온것입니다. 내적 외적 어쩌구 저쩌구...

  16. 김봉진 2015.04.26 23:13 신고

    잘 읽고 갑니다.
    많은 도움이 되었습니다.
    퍼가도 될까요?ㅎ
    일단 출처 밝히고 퍼갑니다!ㅎ

  17. 신디 2015.05.18 07:56 신고

    line integral, green's theorem 스트록 정리 다이버전스 다 정리 해주시면 안될까요 ㅠ_ㅠ 설명 잘하시는데 포스팅이 미적분 카테고리엔 세개밖에 없는게 아쉽네요..

  18. miguel 2015.12.09 13:32 신고

    밑에분들 2r=x+r-(x-r)인걸 모르시는건가!

  19. 자유곡선 2016.01.26 04:44 신고

    이글을 읽고나서 감명받아서 울었네요^^
    포스팅한 글이 완전 꿀입니다.

    세상의 꽃 주위를 날라다니는 나방처럼....
    꿀을 만들지 못해서...힘들었는데...

    한마리 나방이 잠시 쉬었다가 날아갑니다.

  20. 흠.. 2017.03.30 15:18 신고

    curl이 미시적인 회전을 알아내는 연산자라는 말의 의미는 알겠지만, 위에서 드신 예시 (1/(x^2+y^2))(-y,x,0) 은 다소 거리감이 있는 예시가 아닌가 합니다. 물론 이 친구는 curl이 0이지만, (-y,x,0)의 curl은 (0,0,2)입니다. 만약 거시적인 회전때문에 예시의 curl이 0이었다면 같은 이유로 (-y,x,0)의 curl이 0이어야겠죠. 드신 예시는 curl이 0이지만 conservative하지 않은 예시로, domain이 simply connected가 아니라는 부분에 더 눈길이 가는군요.
    여튼, 글 잘 봤습니다. curl을 이렇게 유도할 수 있는줄은 몰랐네요.

  21. 냐무냐무 2017.12.06 19:08 신고

    와....... 정말 이해가 잘 되네요 눈물나올정도 ;_;
    좋은 글 감사합니다!!

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