회사에서 기초수학 세미나를 할 일이 있어서 열심히 대충 만든 파일입니다. 응용분야에서 많이 사용하는 선형대수 알고리즘인 PCA(주성분분석)을 이해하기 위해 필요한 내용들을 정말 간단하게 요약한 것으로, 이미 선형대수를 한번은 수강하셨던 분들에게 추천합니다.


수많은 교재들이 있지만 이 글의 장점은 행렬을 바라보는 관점을 먼저 제시하고, 목적에 따라서 주어진 행렬을 이해해야 한다고 강조하는 점입니다. 이 부분은 어떤 교재에도 없다고 생각합니다.


제가 선형대수를 공부하면서 항상 마음 속 깊이 혼란스러웠던 것이 결국에 주어진 상황에서 행렬을 과연 무엇으로 보고 있는가?에 대한 이해가 부족했던 것이어서 이 부분을 강조했습니다.


A Short Cut to Understanding PCA.pdf


부족한 점이나 잘못된 점 지적 환영합니다.(단, 부드럽게)


참, 그림같은거 넣어야 하는데 안 넣어서.. 죄송합니다. 수정을.. 해야하는데..

저작자 표시 비영리 변경 금지
신고
  1. LSH Project 2016.03.12 10:18 신고

    감사합니다. 잘 읽겠습니다 :)

  2. unclezeze 2016.03.23 15:08 신고

    ^^:; 다운 받으려고 하는데 새로고침 페이지가 뜨네요..

  3. magiclight 2016.04.02 19:19 신고

    열심히 대충 ㅋㅋ...
    내용은 무난하네요.

  4. Baumgarten 2016.04.15 13:35 신고

    1)토폴로지 basis랑은 벡터에서 뭐가 달라요?
    2)spanning set은 항상 존재하나요 유일하나요?
    3)eigen이 독일어 '고유'인데 그거랑 관련있나요
    4)그람 슈미트가 뭐에요.
    5) eigenvector나오는 데 부터..ㅠㅠ
    6) 여기 여기에 그림이
    7) 9쪽에 different than 을
    8) 정의11 왜 동치에요?

    • 1)
      선대의 basis는 공간 속 임의의 '원소'를 unique하게 표현하게 해주는 도구이고

      위상수학의 basis는 공간을 구성하는 open set을 표현하게 해주는(may not be uniquely) 도구입니다.

      임의의 open set이라 하면 다루기 어려우나, 잘 정의된 오픈셋 클래스들을 이용해 표현할 수 있다면, 좀 더 위상을 이해하기 쉬워지겠죠

      2)
      벡터 공간에 basis는 항상 존재한다고 증명되어 있습니다. axiom of choice 이용해서요.

      3)
      고유값이라고 불리니까 eigen을 쓴거구요 주어진 linear transformation이 벡터 공간을 mapping하는 과정에서 변하지 않고 보존하는 고유의 부분공간이 있는데 그 부분 공간의 basis를 아이겐벡터라고 합니다.

      4)
      그람-슈미트는 일반적인 basis를 orthonormal basis로 바꿔주는 방법입니다.

      5)
      ??

      6)
      이게 회사 내에서 수학 비전공자들에게 리뷰해주기 위해 만든거라서 그림같은건 직접 화이트보드에 그렸기 때문에 이 pdf파일은 많이 부족합니다. 실제 강의를 위한 보조자료일뿐입니다. 그리고 딱히 더 보강할 계획은 없습니다. pdf파일 만드는게 워낙 힘든 일이라서요.

      7)
      ??

      8)
      정의11이 무엇과 동치인지 물어보시는지 모르겠습니다.

이 글을 읽기 전에, 유리수 계수 다항식은 본질적으로 정수계수 다항식임을 명심하자


크로네커의 정리


나 이런 사람이야

근데 크로네커 델타가 더 유명해? 안습 ㅠㅠ




  지난 대수학 시간에 제출했던 숙제 점수가 매우 낮아서 교수님께 가루가 되도록 까이고 새 출발하는 마음으로 다항식환(Rings of Polynomials)부터 다시 공부했다. 쭉 공부하다가 확장체(Extension field) 단원에 들어와서 크로네커 정리를 읽는데 마음을 비우고 읽으니 숙제를 위해 허겁지겁 읽던 때와 달리 느낌이 좀 달랐다. 속으로 '와 이거 정말 대단한 정리네' 이런 생각하며 읽고 난 후에 프렐라이 책에 종종 나오는 Historical Notes가 바로 밑에 있어서 보았더니 수학자 크로네커에 대한 이야기가 있었다. 그 부분을 읽으니 방금 전에 본 크로네커 정리의 새로운 측면이 보였고 참.. 뭐랄까 한 사람의 철학이 녹아있는 정리였구나.. 크로네커의 혼이 들어간 작품이었구나 이런 생각이 들었다. 오늘 내가 느낀 것들을 이 자리에서 나눠보고자 한다.


먼저 대수학자(大가 아니라 代)들이 이루고자 했던 목표를 알아야 크로네커 정리의 참맛을 느낄 수 있다. 그 목표란 바로


자연수로부터 유리수, 실수, 복소수까지 모두 유도해내는 것


이런 쪽에 별 관심없는 사람들은 "뭐 저딴걸 왜 함" 이렇게 무시할 수도 있지만 대수학의 초기 주요 주제 중 하나라는 사실은 명심하자. 굳이 저게 중요한 이유를 찾자면 수학이라는 분야의 특징 중 하나인 연역추리인데 가장 간단한 내용으로부터 단계별로 연역적으로 복잡한 대상들을 이해하는 것이 수학자들의 특징이다. 수 중에서 가장 간단한 수가 자연수인데 정수는 자연수로 금방 만들어 낼 수 있다.



0넣고 음의 부호 붙여넣으면 끝. 그렇다면 유리수는 어찌 만들까?



그냥 분수로 만들어 버리면 된다. 물론 이게 전부는 아니고 여기에 equivalence class라는 집합론의 도구를 쓰지만 뭐 대단한 것은 아니다.


자, 우리는 자연수로 유리수까지 금새 만들어냈다. 자연수로 정수를, 정수로 유리수를, 그렇다면 이제 유리수로 실수 전체를 만들려고 하는데 이 부분이 잘 안되는거다. 이제부터 전공수학스러운 이야기가 쏟아져 나오니 비전공자들은 뒤로가기를 누르자.


살펴보면 유리수는 항상 정수계수 일차다항식의 근이 된다. 예를 들어,



그런데 x2 - 2 = 0 의 근은 유리수가 아니라는 사실을 알게 된다. 증명은 중학교 수학에도 나오니 나는 하지 않겠다. 그래서 생각하기를


아~ 이차 이상의 정수계수 다항식의 근들이 유리수 아닌 실수들을 만들어 내는구나


그렇다면 유리수근을 갖지 않는 특정방정식의 근을 적당한 기호로 α 라 한다면 α 라는 수를 포함한 더 큰 수체계가 있을까? 이런 질문을 하게 된다. 그리고 그 수체계는 다른 모든 방정식들의 근도 가질까? 이 질문에 답하고자 대수학자들이 노력했다.



위와 같이 새롭게 구성한 체 F는 유리수를 다 포함하고 유리수말고도 루트2와 유리수로 만들 수 있는 모든 수가 있다. 그러면 유리수를 포함하는 이런 체가 다른 다항식의 근들도 다 가지고 있을까? 아쉽게도 그렇지 않다. 결론부터 미리 말하자면 루트2나 세제곱근3 이런거 유한히 넣는 방법으로는 아무리 확장시켜도 결코 모든 다항식의 근을 항상 갖는 체(복소수체)로 확장시킬 수 없다. 그런데 이거는 나중에 알아야 할 사실이고 지금 집중할 내용은 이거다.


F가 체이고 f(x)가 F의 수들을 계수로 갖는 다항식일때,

f(x)=0의 근을 갖는 F보다 더 큰 체가 항상 있을까?


쉽게 말해


유리수체 Q가 있고 f(x) = x2 - 2 이 있을때, f(x) = 0의 근을 갖는 Q보다 더 큰 체가 있을까?


우린 보통 실수체라고 답하겠지만 실수체까지 안가도 그런 체는 얼마든지 있다는 것을 명심하자. 이것을 크로네커가 증명했다. 이 정리가 대단한 진짜 이유는 그 새로운 체를 E라 하면 E가 어떻게 생긴 체인지 아예 만들어서 보여주고 기존의 체 F에 없는 그 α에 대응하는 수가 E에서 어떤 모양으로 생겼는지 아예 찾아서 보여준다. 매우 구성적인(constructive) 증명이라고 할 수 있다. 증명의 개요는 다음과 같다.



먼저 F에서 근을 갖지 않는 다항식 p(x)는 체 F위에서 irreducible이므로 이 다항식 p(x)로 만든 principal ideal <p(x)>는 F[x]의 maximal ideal이 되고 maximal ideal로 자른 F[x]/<p(x)>는 체가 된다(Ideal 단원의 중요한 정리) 바로 이렇게 만든 체가 우리가 찾던 체이고 바로 이 체 안에 있는 원소 α = x + <p(x)>가 p(x)의 해가 된다. 이 α는 기존의 체 F에 없던 원소이므로 p(α) = 0 을 만족하는 새로운 수로 인식해서 받아들여야 한다.


이 관계를 잘 인식하자.


  해석학과 비교해보면 해석학에서도 유리수를 통해 실수를 구성하는데 대부분 supremum과 완비성공리를 사용해서 루트2를 x2 - 2 < 0 을 만족하는 유리수 집합의 상한으로 정의해서 얻어내지만 대수학에서는 루트2란 x2 - 2 = 0 을 만족하는 유리수체를 포함하는 어떤 확장체의 수 일뿐이다.


  이 정리가 대단한 이유는 보통 수학에서, 특히 해석학에서, 많은 정리들이 존재성 정리라 하여서 어떤 조건을 충족시키는 대상이 존재함을 증명하지만 어떻게 생겼는지 알려주지는 않는 비구성적 증명이 많다. 예를 들어, 미분방정식의 해가 있지만 어떻게 생겼는지는 모른다는 식? 그런데 크로네커정리는 그 대상이 있고 어떻게 생겼는지 아예 콕 짚어서 보여주기 때문에 대수학에 큰 공헌을 했다. 이 정도까지면 "크로네커가 잘 했네" 이 정도의 감상에 머무를 수 있지만 Historical Notes에 나온 크로네커의 수리철학인 구성주의에 대해 알게 되면 크로네커라는 사람이 얼마나 인간의 이성으로 수체계 전체를 만들고 이해하려고 노력했는지 알 수 있다. 그래서 크로네커는 다음과 같은 말로 유명하다. 


신은 정수를 만들었고 나머지는 모두 인간이 만들었다.


... 크로네커 정리는 크로네커의 신념이 담긴 정리다.


참고로 유리수체를 유한번 확장해서는 실수체가 되지 않지만 실수체를 한번만 확장하면 복소수체가 된다. 이것을 보면 실수와 복소수는 굉장히 가깝지만 유리수와 실수 사이에는 넘사벽이 있는 것 같다.


p.s : 이전까지 나는 크로네커에 대해서 아는게 별로 없었다. 기껏해야 내가 좋아하는 칸토어가 교수직을 얻지 못하도록 평생 방해해서 정신병원에서 죽게 만들었다는 정도? 그래서 크로네커를 굉장히 싫어해서 크로네커가 했다는 저 말을 보고 첫 반응이 "미X놈이 뭔 헛소리래" 이었다. 그런데 오늘 이렇게 대수학을 공부하다보니 대단하긴 하다는 생각이 들었다.

저작자 표시 비영리 변경 금지
신고
  1. 창실 2014.04.10 11:21 신고

    해석학과 대수학의 유리수에서 실수를 구성하는 방법이 다르군요. 여기서는 다항식을 이용해 체를 확장해 나가는 방법을 이용하고 있는 것 같은데요, 다항식의 근으로 얻을 수 없는 초월수를 구성하는 대수학적 방법이 있나요? 체를 무한번 확장하는 식으로 초월수를 얻을 수 있는 것인지 아니면 다른 방법을 이용하는 것인지 궁금합니다.

    • 학부 3학년때 배운 내용이지만 그때는 대수학을 거의 공부하지 않아서 그냥 문제만 풀었는데 (그나마 제대로 풀지도 않았지만요) 이번에 대학원 1학기에 대수학1을 수강하면서 전보다 여유롭게 공부하니까 여러가지 의미들이 보이더라구요.

      질문하신 내용은 아직 저도 공부하는 중이라 지금 당장은 드릴 답변이 없어서 죄송합니다. 공부하면서 알아가는대로 포스팅 하도록 하겠습니다 ^^

  2. 궁금해요 2014.05.03 15:54 신고

    현대대수학이라는 교재(일반 서점에 있는)진도를
    대학원때 연결해서 나가나요? 아니면 다배운건데 복습하는건가요? ㅈㅅ 가방끈이 짧아서 대학교에 대해 궁금하네요...

    • 아.. 이거는 학교마다 그리고 학기마다 조금씩 다를텐데요
      저는 학부와 대학원 모두 같은 곳에 다니는데 학부때 배우던 책 진도 중 갈루아이론 부분을 당시에 다 나가지 못했습니다.
      그런데 이번에 개설된 대수학 강의에서 갈루아 이론을 다루게 되어서 제 경우는 학부때 마지막으로 배운 부분에서 이어서 배우고 있습니다. 운이 좋은 것(?) 같습니다.

  3. 궁금해요 2014.05.03 16:00 신고

    음 역시 추상대수학 재밌네요 걍 맥시멀아이디얼로 페포에서 몫군 취하는 식으로 ㅎㅎㅎ 아 굳이 페포가 없다고 해도 안이상한가요?? 그리고 커넬0 =0 밖에 없다는걸로 그수가 대수적인지 초월적인지 알수만 있는거지 초워수를 구성할수도 있나요? 설마;...

  4. 이을 2014.05.04 22:21 신고

    이것이 바로 수학이군요.. 뭔가 굉장히 아름답네요..

    • 전공 수학을 잘 하는 것과 수학에서 아름다움을 느끼는 것은 많이 다른데 이곳에서 아름다움을 느끼셨다면 수리적인 심미안으로 가지신 것 같습니다. 환영합니다 ^^

  5. Iluvmath 2015.01.26 00:15 신고

    전 대수학 특유의 이 부드러운 느낌을 좋아했습니다.(비록 학부였지만...)
    갈루아 이론의 꽃인 마지막 챕터를 배우진 못했는데, 독학으로 꼼꼼하게 공부해보려고 합니다. :)

  6. ecclove 2016.03.04 17:45 신고

    .

 

현대대수학을 공부하면 자주 보게 될 화살표 도식

 

 

  대부분의 4년제 수학과 학부과정에서 현대대수학(다른 이름으로는 추상대수학)을 3학년 교과과정으로 정해놓았다. 그래서 3학년때 현대대수학을 수강하면 대부분 대수학 특유의 추상화와 현실 세계와 잘 대응되지 않는 개념들을 만나면서 많은 어려움을 토로한다. 오늘 이 글에서 현대대수학이란 어떤 과목인지 학부 수준에서 필자가 아는 선까지 리뷰를 하고자 한다. 현대대수학에는 크게 Group(군), Ring(환), 그리고 Field(체) 이렇게 세 종류의 대수적인 구조를 배우는데 필자는 아쉽게도 학부에서 Ring까지 밖에 배우지 못했다. Ring까지 배웠다고 Field를 아예 모르는 것은 아니고 정확히는 Field와 Group을 이용해서 5차 이상 방정식은 근의 공식이 없다는 것을 증명하는 과정을 배우지 못했다는 것이다. 다행히도 이번 석사 1차학기 대수학 수업에서 Field theory(체론)을 수강하고 있으니 나중에 필요하면 이 글을 업데이트하겠다.

 


 

1. 군(Group)

 

  우리는 자연수, 정수, 유리수, 실수, 복소수 등의 다양한 수체계를 초중고를 거치며 자연스럽게 체득해왔다. 예를 들어 복소수 a와 복소수 b의 합은 다음과 같은 성질을 만족하는 것을 우리 모두 안다.

 

 

이를 교환법칙(Commutative law)이라 하는데, 중고생들을 가르칠 때도 매번 느끼지만 워낙 자연스레 받아들였기 때문에 이런 법칙이 모든 수체계에서 다 성립하는 자연스러운 개념이라고 생각하는 경우가 많다. 그러나 실제로 얼마든지 반례를 찾아낼 수 있기 때문에 이런 법칙들이 성립할 때 얻을 수 있는 결론을 알고자 하는 생각이 얼마든지 생길 수 있다. 그래서 먼저 군(Group)을 다음과 같이 정의하자.

 

1. 집합 G는 공집합이 아니다(nonempty set)

2. 집합 G의 원소들 사이에 어떤 이항연산자(binary operation)이 있고 이 연산자를 ⊙ 라 칭한다.

3. 집합 G는 ⊙에 대하여 닫혀있다.

4. 집합 G의 원소 a, b, c에 대하여 a⊙(b⊙c) = (a⊙b)⊙c 가 성립한다. (결합법칙)

5. 집합 G에 어떤 원소 e가 있어서 임의의 원소 a에 대해 a⊙e = e⊙a = a 가 성립한다. (항등원)

6. 집합 G의 임의의 원소 a에 대응하는 원소 x가 있어서 a⊙x = x⊙a = e가 성립한다. (역원)

 

위 여섯가지 조건을 만족하는 집합을 (G,⊙)라 표기하고 군이라고 한다.

 

(여기서 G가 실수집합이고 ⊙가 + 이면 우리가 늘 하던 실수덧셈이 된다)

 

위 수 집합에는 교환법칙이 성립한다는 말이 없다. 즉, 이런 수체계에서는 어떤 것들이 가능할까 알아보는 것이 현대대수학의 공부의 중요한 포인트 중 하나다. 그러니 이런 군 G에 교환법칙을 첨가하면 뭐가 달라질까 이렇게 고민하는 것이 자연스럽다.

 

그러나 학부 현대대수학 중 군론(Group theory)에는 중요한 목표가 하나 있다.

 

일단 군의 원소의 갯수가 무한한 것보다는 유한한 것들에 관심을 먼저 가진다.

 

그렇다면 질문! 어떤 군 G의 원소의 갯수(Order)가 4이면 이 군은 어떤 군일까?

 

여기에서 "아니 세상에 그걸 내가 어떻게 알아"라고 반문할 수 있겠지만 현대대수학은 군의 order가 임의의 자연수 n인 경우에 어떤 대수적인 구조를 가졌는지(교환법칙이 성립하는지 또는 기존에 알려진 다른 군들과 isomorphic한지 등)를 알려준다. 즉, 다음과 같이 학부 현대대수학에서 군론의 최종목표를 나타낼 수 있다.

 

"모든 유한 군의 구조를 파악하는 것"

 

이것을 하기 위해 수많은 개념을 도입하고 난해한(사실 속사정을 보면 그렇게 난해하지도 않은) 정리들을 증명해나간다. 이렇게 해서

 

유한 군 중 가환군(Abelian group)은 Fundamental Theorem of Finitely Generated Abelian Group이라는, 줄여서 FTFGAG를 통해 완벽하게 분류한다.

 

그리고

 

비가환 유환군(Nonabelian finite group)은 가환군과 달리 Sylow정리들같은 좀 더 어려운 정리들로 비가환군들의 order가 n일 때, 어떤 구조를 갖는지 파악한다. 비가환군은 가환군보다 구조가 복잡해서 FTFGAG처럼 끝판왕급의 정리 하나로 끝낼 순 없어서 Normal subgroup을 이용해서 Quotient group을 만들어 Isomorphism정리들을 사용하거나 Group action 등을 활용해 지지고 들들 볶아서 잡았다 요놈 이렇게 해버린다.

 

현대대수학 교재 중 가장 유명한 Fraleigh는 굉장히 친절한 설명으로 유명하다. 개인적으로 수업은 열심히 안 듣고 책만 열심히 봤는데 약간 소설책같은 느낌을 많이 받았다. 특히 Sylow정리들이 있는 섹션 마지막을 읽는 순간 무슨 반전소설 마지막 부분을 읽는 느낌이었다. 방금 한 말은 헛소리다. 현대대수학 공부할 때, 이런 흐름을 느낄 수 있어야 한다.

 

"아~ 지금 어떤 군이 어떤 대수적인 구조를 가졌는지 알아가고 있구나~"

 

시중에 현대대수학 관련해서 교양 수준으로 읽어볼 책들이 있어서 이곳에 나열해본다.

 

1. 몬스터 대칭군을 찾아서

2. 추상대수학의 역사

 

 

2. 환(Ring)

 

  군은 이항연산자가 하나 밖에 없었기 때문에 우리가 일상에서 다루는 수 체계와는 좀 거리가 있었다. 그에 비해 환은 두개의 이항연산자를 가지고 있다. 편의상 하나는 덧셈(Addition), 나머지는 곱셈(Multiplication)이라 하자. 환은 다음과 같이 정의한다.

 

1. R은 가환군이다.

2. 곱셈에 대해 결합법칙이 성립한다 a(bc) = (ab)c

3. 분배법칙이 성립한다 a(b+c) = ab + ac , (a+b)c = ac + bc

 

대표적인 환으로는 정수집합이 있겠다. 그렇지만 환으로서 가장 의미있는 집합은 다항식 집합일 것이다.

 

어쨌든 환론에서는 Ideal 이라는 특별한 형태의 환을 배우는데 Prime ideal, Principal ideal, Maximal ideal 등을 배우고 이들을 활용해 환의 구조를 밝혀낸다. Ideal은 군론의 Normal subgroup에 대응하는 개념으로 Ideal 자체의 어떤 의미보다는 Ideal을 활용해 기존의 Ring을 잘라서 새로운 Field를 만드는 등 여러가지 일을 한다.

 

그러나 환론은 군론에 비해 환 자체보다는 체(Field)에 관심이 더 많다. 체는 환의 특수한 경우다.

 

나는 사실 Ring 제일 재밌고 쉬웠다.

 

 

3. 체(Field)

 

  체는 환 중에서 곱셈의 교환법칙이 성립하고 덧셈의 항등원을 제외한 모든 원소들이 곱셈에 대한 역원을 갖는 집합이다. 굵은 글씨의 한 예로 실수 중에서 0을 빼면 나머지는 모두 자기 자신의 역수가 곱셉에 대한 역원으로 역할을 하지만 0은 곱셉의 역원이 없다는 것이다. 0곱하기 뭐가 도대체 1이 된단 말인가.

  체는 재밌는게 계속 확장을 시킨다. 이것을 Field extension이라고 하는데 하면 할 수록 체가 포함하는 수 체계가 넓어지는데 이런 체들 사이의 관계를 아는 것이 중요한 목표 중 하나다. 뭐 Separation field니 무슨 field니 이런 것들도 물론 중요하고. Field Extension의 한 예를 들어보자.

 

유리수 집합 Q는 덧셈과 곱셈에 대해 체가 된다. 그런데 유리수 집합에 루트2를 넣으면 기존에 없던 a + b√2 (a, b는 유리수) 형태의 유리수 아닌 수들을 가진 체로 확장시킬 수 있다. 이런게 필드 익스텐션이다. 여기서 말로는 쉽게 했지만 실제로는 polynomial ring들을 가지고 이것저것하는데 사실 이 과정이 되게 재밌다. 재밌는 중간 결론 중 하나가

 

"유리수체를 유한번 extension해서는 실수체가 될 수 없다"

 

이 말이 시사하는 바가 참 많다. 두 집합 사이의 cardinality 생각도 나고 π 같은 초월수는 유한번의 작도로 그릴 수 없다는 사실도 생각이 난다. 모두 돌고 도는 이야기다.

 

나는 여기까지 배웠는데 이후로 갈루아이론을 이용해서 군과 체 사이의 관계를 이용해서 5차방정식은 근의 공식이 없다(Insolvability of Quintic)는 것을 증명한다고 한다.

 

 


 

  공부한지 1년이 넘어서 기억이 자세히 나지 않지만 이번에 대수학을 다시 공부하니까 중간중간 업데이트할 것들이 생기면 업데이트하도록 하겠다.


14.03.18 1차 업데이트 했습니다.

저작자 표시
신고
  1. 창실 2014.03.11 14:28 신고

    환론이 제일 재밌고 쉬웠다니 놀랍네요. 저는 군론, 환론, 체론 중 환론이 제일 난해했거든요. 군론은 도형을 통해서, 체론은 갈로아 이론을 통해서, 보다 구체적인 예를 들어가며 이해가 가능했는데 환론은 ideal 개념이 나올 때부터 머리가 아프더군요;

    • 음 아마 창실님과 저의 관점 차이때문에 그런 것 같습니다.
      전 대수학 공부하면서 마주친 개념들의 현실에서의 의미나 예를 찾으려고 하지 않고 정의 그대로 받아들였습니다. 고학년 수학으로 갈수록 추상적인 개념들이 많이 나오다보니 실제적인 의미보다는 정의 그 자체로 받아들여야 하는 경우가 많더군요.

      해석학은 비교적 덜 그렇지만 대수학이나 기하학은 정말 답이 없다고 할 수 있을 정도로 추상적으로 가더라구요. 그나마 학부수준 미분기하학은 눈에 보이는 3차원 공간을 다루지만 대학원 수준의 기하는 뭐 더 이상 이게 정말 기하라는 이름을 붙일 필요가 없다고 할 정도로 추상적이더라구요.

      제가 환론을 재밌어했던건 군론에 비해서 환론이 무얼하고자 하는지 비교적 잘 보여서 그랬던 거 같습니다. 군론은 배우면서 마지막에 Sylow정리들을 배우기 전까지는 정말 이런거 왜하나 싶었는데 환론은 다항식집합을 배우면서 방정식을 다루니까 드디어 방정식을 풀기 위해 발전한 고전적인 대수와 만나는 지점이 보여서 좋았습니다.

  2. 창실 2014.03.13 14:46 신고

    그렇군요, 그런데 제가 말한 구체적인 예는 현실에서의 예가 아닌 수학 그 자체에서 찾을 수 있는 예를 말한 거죠. 예를 들어 부분군의 위수는 군의 위수의 약수라는 정리는 회전에 의해 생성되는 군을 생각하면 쉽게 이해할 수 있겠죠. 45도의 회전에 의해 생성되는 군을 생각했을 때 90도 회전에 의해 생성되는 부분군의 위수가 전체 군의 위수의 약수라는 사실을 직관적으로 이해할 수 있게 되죠.
    그리고 체론의 경우 갈로아 이론을 이해하고자 하는 목표가 있었기에 좀 더 재밌게 공부할 수 있었던 것 같습니다. 체론을 이용해 작도불가능의 문제를 증명하는 부분도 흥미롭더군요.
    그런데 환론은 무얼 하고자 하는지 도무지 알기가 힘들었습니다. 환론에서 방정식을 풀기 위해 발전한 고전적인 대수와 만나는 지점이 보였다고 쓰셨는데 구체적으로 여쭤볼 수 있을까요?
    수학을 공부하면서 느낀 것이 수학이 어떻게 발전했는지 알아볼 수 있는 역사 공부도 필수인 것 같습니다. 역사적인 이해없이 추상적인 정의와 정리만 보아서는 어떻게 어떻게 그 형식을 논리적으로 이해했다고 하더라도 그 의미까지 알기 어려운 것 같아요.

    • 한가지 예로 evaluation homomorphism을 들 수 있는데요.
      군론에서 이 함수는 별로 크게 쓰이지도 않고 필요가 없어보이는데 환론에서 특히 다항식환을 정의역으로 가지는 evaluation homomorphism은 딱 봐도 고전적인 대수와 관계가 깊죠. 왜냐면 kernel이 바로 방정식의 근과 관계가 있으니까요(비록 커널 자체가 근의 집합은 아니지만)

      수학을 공부하다보면 의미보다는 다른 것들을 증명하기 위해 도입한 개념들이 종종 나옵니다. 군론에서는 sylow 정리들을 증명하기 위해 p-gourp같은거나 집합론에서는 선택공리를 이용해서 Hausdorff maximal principle같은거 증명하기 위해 몇가지 개념을 정의해서 끌어다 쓰죠. 그리고 다시는 그 개념들을 쓰지 않죠. 그래서 너무 모든 개념에 대해서 구체적인 의미를 파악하는건 힘든 것 같습니다.

  3. ㅇㅇ 2014.06.09 00:21 신고

    머리가 깨진다.. 고3인데 어흑

  4. 이은정 2014.06.11 16:38 신고

    정말 감사합니다

  5. grace 2014.06.12 09:57 신고

    지금 교대원에서 대수 듣는중인데 학부때 배운게 하나도 기억이 안나요 ㅠㅠ 인터넷에서 기억 안나는 부분 이래저래 검색하다보니 오빠 블로그 까지 오게됬네요 ㅋㅋ 근데 이 블로그 수학고등어로 검색해도 안나와!! 어떻게 들어와야 하지 ㅋㅋ

문제지는 파일첨부

2013-2 대수학 졸업시험 예상문제.pdf

 

풀이

 

 

저작자 표시
신고

+ Recent posts