필자가 학부에서 수학을 공부하면서 가장 재미있게 공부한 과목 중 하나가 집합론이다. 필자가 다닌 중앙대 수학과에선 1학기에 집합론이 2학년 전공으로 개설된다. 공익근무가 끝나고 복학한 첫 학기가 2학년 1학기였기에 오랜만에 듣는 수업이라 한학기 내내 보든 과목을 재밌게 공부했는데 그 가운데서도 집합론이 가장 재밌었다. 왜냐하면 집합론은 다른 수학 분야와는 느낌이 좀 다르기 때문이다. 어느 집합론 책을 보든지 항상 맨 처음에는 저자의 서문과 목차 명제논리를 다룬다. 이 부분은 통상적인 수학보다는 메타수학의 느낌이랄까? 수학이란 분야에서 사용하는 논리체계를 익힌다. 아무튼 각설하고 오늘은 명제논리 중 기초적인 것들을 알아보겠다.


※ 명제논리 전체를 다루는 것이 아니라 특별히 말하고 싶은 부분이 있어서 올리는 글이니 명제 논리 전반을 공부하고 싶은 사람들을 위해 괜찮은 입문용 교재를 올려 놓겠다. >링크<



1. 명제의 정의?


  명제(Statement or Proposition)란? 이렇게 물어보면 대부분의 교과서는 "참 또는 거짓을 판별할 수 있는 문장"이라고 한다. 하지만 이건.. 거짓말이다. 수학에는 증명할 수 없지만 필요한 문장들이 많다. 예를 들면 '모든 명제는 참 또는 거짓이다' 이런 것들 말이다. 이상한 나라에서는 어떤 문장이 참이면서 동시에 거짓일 수도 있을지 모르지만 적어도 수학의 세계에서는 이런 가능성을 배제한다. 어쨌든, 수학 내에 이미 증명할 수 없으면서 참이라고 가정하는 명제(이름하여 공리 axiom)들이 있기 때문에 대부분의 교과서들이 정의한 명제의 의미는 굉장히 협소하다고 할 수 있다.

  그렇다면 명제는 뭘까? 명제는 명제일뿐이다. 명제와 같이 굉장히 원시적인 개념은 정의할 수 없다. 이런 개념들을 무정의 용어라고 한다. (무정의 용어로는 점, 선, 면 등이 있다.) 무정의 용어가 필요할 수 밖에 없는 이유는 다음과 같다. 어떤 개념 A를 정의하기 위해 'A란 B, C, D를 만족하는 E다'라고 정의했다고 하자. 그러면 이미 B, C, D, E라는 개념을 정의해야한다. 이런 식으로 계속 하다보면 순환논리가 나올 수 밖에 없어서 아주 기초적인(Primitive) 개념들은 상식(common sense)에 맡겨두고 넘어갈 수 밖에 없다.



2. 명제 논리 기초와 참, 거짓 판별


  "사과는 맛있다"와 "귤은 달다"라는 명제들이 있다고 하자. 그런데 앞으로 이런 명제들이 여러개 나올텐데 매번 문장을 반복해서 사용한다면 글이 복잡해지므로 영어 알파벳 소문자를 사용해서 다음과 같이 대명사로 사용하자.


p : 사과는 맛있다

q : 귤은 달다


학생들을 가르치다보면 저런 소문자를 사용하는 것에 혼란을 겪는 것을 자주 보는데, 이는 학생들의 수준이 아직 추상화에 적합하지 않은 탓도 있지만 가르치는 교사들 자체가 이런 세부적인 사항들을 공부할 때 무심코 지나쳐서 뭐가 중요한지 모르기 때문에 잘 전달하지 못 하는 면이 크다. 학생이야 모르니까 배우지만 많은 교사들은 잘 모르면서 가르친다. ㅉㅉ 아래 표는 명제논리에 사용하는 기본적인 기호들이다.


 기호

읽는 방법 

예제 

예제 읽는 방법 

~

not 

~p

not p

and

p∧q 

p and q 

or

p∨q

p or q

implies

p→q

If p, then q    or    p implies q 

if and only if

p↔q

p if and only if q 


위 표에 따르면


~p : 사과는 맛있지 않다.

p∧q : 사과는 맛있다 그리고 귤은 달다

p∨q : 사과는 맛있다 또는 귤은 달다

p→q : 만약 사과가 맛있으면, 그러면 귤은 달다

p↔q 이 명제는 (p→q)∧(q→p) 를 나타낸다. 그러니까 p와 q가 서로를 Imply 한다는 뜻이다. 길게 풀면


만약 사과가 맛있으면, 그러면 귤은 달다 그리고 만약 귤이 달면, 그러면 사과가 맛있다. 


이 경우 P와 Q는 서로 동치명제라고 한다. 동치라는 것은 그냥 '같다'는 뜻으로 받아들이면 된다. 뭐.. 사과가 맛있다는 것과 귤이 달다는 것이 서로 절대 같을리 없지만 그냥 예제니까 넘어가도록 하자.


  이제 참과 거짓을 판별하기 위해 기본적인 가정들을 살펴보자.


먼저, 제1가정 : 임의의 명제 p는 참이거나 거짓이고 동시에 참이고 거짓일 수 없다.


상식(?)이지만 수학은 항상 정확하게 짚고 넘어가므로 우리도 그렇게 해야한다.(내가 수학을 좋아하는 이유이기도 하다)


p

~p

T

F

F

T


위 표가 말하는 것은 p가 참(T)이면 ~p는 거짓이다는 것과 p가 거짓인 경우에 ~p가 참이라는 것이다. 당연한 상식이지만 역시 수학은.. 다음 표는 좀 더 복잡하다.


p

q

p∧q

p∨q

p→q

 p↔q

T

T

F

F

T

F

T

F

T

F

F

F

T

T

T

F

T

F

T

T

T

F

F

T


맨 앞 두 열은 전제고 나머지 네 열은 결론이다. 즉,


첫째 줄은 p와 q가 참이면 p∧q는 참, p∨q도 참, p→q도 참, 그리고 p↔q도 참이라는 것이다.


나머지 줄들은 꼭 지금 독자가 직접 확인해보길 바란다. 참고로 위 표들은 약속이다. 즉, 가정이라는 뜻이다.



2-1. p∧q


  'p 그리고 q'가 참이려면 둘 다 참이어야 한다는 것에 독자가 얼마나 동의할지는 모르겠다. 적어도 필자는 한 번도 이런 가정을 의심해본 적이 없다. 현실 세계에서도 맞다고 생각하기 때문이다.



2-2. p∨q


  'p 또는 q'가 참이려면 둘 중에 적어도 하나만 참이어도 전체가 참이라는 말도 필자는 당연하다고 생각한다.



2-3. p→q


  문제는 여기다. 진리표를 잘 살펴보자. 여기에서 p는 가정이고 q는 결론이다. 올바른 가정에서 올바른 결론이 나오면 이것은 올바른 상황이니까 p와 q가 모두 참인 경우에 p→q가 참이라는 것은 합당하다. 그리고 가정이 참인데 여기서 유도한 결론이 거짓이라면 옳지 않은 상황이니까(실수없이 추론했다면 옳음에서 틀림이 나올 수 없으므로) p→q가 거짓이라는 것도 괜찮다. 그런데 틀린 가정에서 나온 옳은 결론이 나왔을 때, 이 p→q가 참이라고 했는데 과연 이런게 올바른 약속일까? 여러가지 설명이 가능하겠지만 내가 학생들에게 주로 하는 설명은 다음과 같다. 누군가 다음과 같이 말했다고 하자.


p : 비가 온다

q : 테니스를 친다


p→q : 만약 비가 오면, 그러면 테니스를 친다


이렇게 된 상황을 가정하다. 그런데 비가 오지 않는데 테니스를 치는 그 사람을 보았다면 그 사람이 거짓을 말했다고 할 수 있을까? 그 사람은 비가 오지 않는 경우에 대해서는 아무 것도 말하지 않았으므로 틀렸다고 할 수 없다. 그리고 모든 명제는 참 또는 거짓의 논리값을 가져야 하므로 p→q는 참이다. 사실, 우린 지금 기본적인 논증 규칙들을 정하고 있는 것이므로 이런 상황에서 p→q를 거짓이라고 정의할 수도 있다. 하지만 이런 것보다는 저렇게 하면 몇몇 중요한 정리들을 얻을 수 있다고 한다(You-Feng Lin 집합론)  다음은 책에서 인용한 글이다.


  이제 p→q 즉 ~(p∧~q)의 진리표를 살펴보도록 하자. 정의 4에 따르면 조건문 p→q의 뜻은 일상 용법에서의 "p이면 q"와는 현격한 차이가 있다. 일상 언어에서 "p이면 q이다"와 같은 꼴의 주장은 p가 참이기만 하면 q는 참인 것으로 받아들이므로 p가 거짓인 경우는 생각할 필요조차 없다. 이를테면 "링컨이 그랜트를 쏘았다라면 제퍼슨은 초대 대통령이였었다."는 표현은 무의미한 것에 지나지 않는다. 왜냐하면 이 명제의 성분은 모두 거짓이기 때문이다.

  결과적으로 일상 용법에 있어서는 그와 같은 합성명제가 참인지를 묻지 않는다. 그러나 논리학자는 형식적 언어를 구성하기 위하여 p→q에 있어서 비록 두 경우는 무의미할지라도 모든 논리적 가능성의 각 경우에 대한 진리값을 매기도록 한다.


번역본에 있는 내용을 그래도 옮겼다. 위 글은 원래 영어를 사용하는 사람이 쓴 글이므로 사실 우리 정서와 맞지 않다. 왜냐하면 우리 말 용법에는 p→q에서 p가 거짓인 경우도 있기 때문이다. 예를 들어 두 사람의 짧은 대화를 살펴보자.


민수 : 철수야!! 나 로또 1등 당첨이야!!

철수 : 이 새끼 또 구라치네. 야 니가 로또 1등 당첨이면 나는 로또 할애비다.


느껴지는가?... 우리 말의 위대함이? 위 말에서 철수는 민수가 로또 1등이라는 명제는 거짓이라고 판단하고 있음을 알 수 있다. 그러니까 저렇게 비꼬는 말을 하는 것이다. 영어권이나 다른 언어라면 몰라도 적어도 우리 말에는 가정이 거짓이면서도 유의미한 용법이 있다.


정리하자면 기본적인 명제논리를 공부한 사람이라면 누구나 아는 격언(?)이 있다.


가정이 거짓이면 결론의 진리값에 상관없이 해당 조건문은 참이다.




독자에게 내는 숙제


  필자가 언급한 참고목록에서 인용한 문장 중 다음과 같은 표현이 초반에 나온다.


 p→q 즉 ~(p∧~q)


두 표현이 서로 같다는 뜻인데 과연 정말 그럴까? 왼쪽 표현은 정의상 무슨 뜻인지 바로 알 수 있지만 오른쪽 표현은 약간 복잡하고 의미가 별로 다가오지 않는다. 그럼 저 둘이 서로 같다는 것을 어떻게 알 수 있을까? 방법은 진리표다. 두 표현법의 진리표가 항상 같은 진리표라는 것을 보임으로써 둘이 사실은 같은 명제를 나타냄을 알 수 있다.


밑에 나오는 진리표를 독자가 스스로 채워가며 증명을 해보자.



p

q

~q

p∧~q

~(p∧~q)

T

T

F

F

T

F

T

F

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?



참고자료

집합론, You-Feng Lin & Shwu-Yeng T.Lin 지음, 이흥천 옮김, 경문사

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  1. 아아 2016.04.12 00:02 신고

    p이면 q이다 이거 좀 어렵고 헷갈렸는데 도움 됬습니다.

    • 아아 2016.04.12 00:18 신고

      근데 만약 문제를 풀때 p이면 q이다 라는 명제에서 가정이 거짓일 때는 아예 제거 해버리고 푸는게 편하지 않을까요? 논리적으로 생각해보면
      p가 거짓일때는 p이면 q이다 라는 명제에 전혀 영향을 못주는 것이니까 그저 p일때 q가 아닌 경우가 있음을 보이기만 하면 되겠죠? 제가 아직 고등학생이라 고교 수준 명제관련 문제에 한에서 질문드리는겁니다

  2. 아아 2016.04.12 00:32 신고

    다시 보니까 크게 의미 있는 질문은 아닌거 같네요 다만 문제를 풀때 좀 더 쉽게 접근할려면 어떻게 해야 될지 어렵네요.. 수학적인 방향으로 "p이면 q이다" 를 받아드려봤자 막상 문제를 풀때는 의미 있는 경우가 안보여서요..

    근데 로또로 예시를 들어준 부분은 상황에 따라 비꼬는 걸로 해석 할 수 있을 뿐이지 영어로도 당연히 되는거 아닌가요? 따라서 위에 한글로 해석된글이 정서적 차이가 있다고 보긴 어려울거 같은데.. 아닐까요?

    • ,음 로또에 관해서 지적하신 부분은 올바른 지적이신 것 같습니다. 제 언어 능력부족으로.. 저 부분은 볼때마다 제 생각이 맞는건지 늘 헷갈렸거든요. 감사합니다

      그리고 'p이면 q이다'에서 p가 거짓인 경우도 형식논리적으로는 고려를 해줘야 합니다. 실제로 저걸로 크게 의미있는 문제를 푸는 경우는 많지 않겠지요

      실제 순수학문을 하다보면 학문 자체의 내용의 의미만큼이나 학문 자체의 가급적 완결성이나 무모순성을 중요시합니다. (사실은 불가능하지만, 이 부분에 대해서는 괴델의 불완전성 정리에 대해 책을 읽어보세요)

1. 정의(Definition)

인터넷에 있는 다른 훌륭한 내용들을 살펴보자.

네이버 백과사전

기호()에 대하여 그 수학적 의미를 규정한 것. 즉, 논의의 대상을 보편적인 것으로 하기 위해, 사용되는 용어 또는 기호의 의미를 확실하게 규정한 문장이나 식()을 그 용어의 정의라고 한다. 이를테면, ‘한 내각의 크기가 직각인 삼각형을 직각삼각형이라 한다’는 직각삼각형의 정의이다.


http://blog.naver.com/cholwan_atom/140006767916 좀 어려워요.

수학적 존재들은 우리가 자연 속에서 발견한 대상들이 아니다. 수학의 대상에 대한 수학적 정의와 대립되는 경험론적 정의는 [추상을 통하여 수학적 대상으로] 정의하기 앞서서 존재하는 사물들을 소박하게 기술한 것이다. 수학적 존재로서 원은 자연 속에 있는 대상을 지시하는 것이 아니다. 원을 창조한 것은 원에 대한 정의이다.

말하자면 수에 대한 경험적인 정의는 복사(copie)이지만, 수학적인 정의는 모델(modele)이라고 할 수 있다. [이 설명이 플라톤의 선분의 비유와 동굴의 우화를 연상하게 한다.]

수학적 정의는 어떤 구체적인 것과 일치할 필요가 없다(음수나 허수 등이 그 예이다). 르 르와(E. Le Roy)의 말과 같이, 수학적 정의가 제시하는 개념은 "효과적이고 연산적인 실행 자료를 정신에게 제공한다."

그래서 수학적 정의는 생산적인 풍요함에 의해서 정당화되는 순수한 연산도식이 되었다. (플라톤은 "기하학자가 아니면 이곳에 들어가지 마시오"라고 했고, 수학이 궁전과 사원건축을 주도했고, 황금비가 건축술을 지배했다 하더라도, 러셀 "수학은 수학하는 사람이 무엇에 대해서 말하고 있는지를 모르는 학문이며, 자기가 말한 것이 진리인지도 모르는 학문이다.

수 계열에서 다음이 "존재한다"는 것은 "우리에게 그 수에 다른 수를 첨가할 권리가 있다."는 것을 의미한다. [ - 이 미래 지배적(예측적) 사유는 과거를 미래로 그대로 투영한 것이다] 따라서 수의 무한성은 수 자체의 형성법칙 중에, 즉 첨가하는 행위 자체 중에 포함되어 있다.


쉽게 말하자면 어떤 대상이 어떠어떠한지 정해주는 행위라고 할 수 있다. 필연적으로 '정의'라는 행위는 선험적(미리 아는)인 경험이 수반되어야 한다. 모르는 것을 정의할 수는 없으니까.



2. 공리(Axiom) or 공준(Postulate)

공리와 공준이 서로 조금씩 다르다고 이야기하는 사람들도 간혹 계셔서 위키피디아를 조사할 결과(이 블로그 주인은 위키피디아를 좋아함) 공리(axioms), 공준(postulates), 가정(assumptions)는 서로 바꿔가며 사용한다고 나와있습니다. http://en.wikipedia.org/wiki/Postulate 를 참고하세요!

네이버 백과사전

하나의 이론에서 증명 없이 바르다고 하는 명제, 즉 조건 없이 전제된 명제이다. 수학에서는 '이론의 기초로서 가정한 명제'를 그 이론의 공리라고 한다.


수학이 완전 혹은 완벽하다고 생각하신다면 공리의 존재에 충격을 받으실 수도 있을 것입니다.
수학에서 어떤 개념이나 정리를 증명하기 위해 증명할 수 없는 명제들이 필요할 때가 있습니다.(자연수 이야기에서 사례가 하나 나올 것입니다) 당연히 수학자들은 공리가 많은 걸 좋아하지 않겠죠?
이곳에서 하기에는 어렵고 긴 이야기가 될 수 있지만 하나 말씀드리자면 힐베르트라는 유명한 독일 수학자가 공리를 증명할 수는 없지만 공리들 사이에 서로 모순이 없음을 보여서 수학이 완벽하다는 것을 증명하려 했습니다. 그러나 이 계획은 19-20세기 최고의 천재 쿠르트 괴델에 의해서 무너지게 되었죠^^;

수학이란 결국 논리적 방법들을 통해(연역, 귀납 등) 최소한의 가장 기본적인 명제들로부터 여러 명제들을 이끌어 내는 학문입니다.(사실 논리가 필요한 모든 것에 해당하는 말이지요) 그런데 사과와 빵이 없으면 아무리 제빵기술이 좋아도 사과빵을 만들지 못하듯 기본적인 명제가 없으면 수학을 전개해나갈 수 없는 것이죠. 그래서 증명없이 옳다고 여기고 사용하는 명제들이 반드시 필요합니다.

공리에 관해서 수학史에 재밌는 이야기들이 많습니다. 그러나 이곳에서 소개하지는 않겠으니 관심이 있으신 분들은 힐베르트 프로그램, 비유클리드기하학, 선택공리 등의 토픽에 대해 검색해보시기 바랍니다.



3. 정리(Theorem)

위 비유에서 이야기한 사과빵에 해당하는 것이 정리입니다.

네이버 백과사전

수학적으로 참인 명제(命題) 즉, 공리(公理)와 정의(定義)로부터 증명(證明)에 의해 정리가 유도되며, 이미 증명된 이들 정리와 공리 또는 정의를 추론(推論)의 근거로 하여 다음 정리가 옳다는 것을 확인한다. 증명된 정리는 그 체계의 토대로서는 바른 것(참인 것)이지만 보편적인 것은 아니다. 즉, 정리는 일군(一群)의 공리계(公理系)를 기초로 한, 하나의 체계에 대해서만 성립한다.


우리가 가장 친숙하게 알고 있는 정리 중 하나가 '피타고라스의 정리'입니다.
300가지가 넘는 증명 중 가장 간단한 증명 중 하나가 '삼각형의 닮음'을 이용한 증명인데요 여기서 '삼각형의 닮음'이 '닮음'에 대한 정의입니다. 이 정의를 이용해서 정리를 추론해내는 것이지요.



4. 무정의용어(Undefined Term)

네이버 백과사전

수학적으로 참인 명제(命題) 즉, 공리(公理)와 정의(定義)로부터 증명(證明)에 의해 정리가 유도되며, 이미 증명된 이들 정리와 공리 또는 정의를 추론(推論)의 근거로 하여 다음 정리가 옳다는 것을 확인한다. 증명된 정리는 그 체계의 토대로서는 바른 것(참인 것)이지만 보편적인 것은 아니다. 즉, 정리는 일군(一群)의 공리계(公理系)를 기초로 한, 하나의 체계에 대해서만 성립한다.


앗! 수학에 또 안타까운 헛점(?)이.. 저도 개인적으로 충격을 많이 받은 부분입니다. 특히 기하학개론책을 보던 중 몇몇 용어를 정의하지 않고 쓰기로 한다는 말을 보았거든요. 즉 선험적인 우리의 직관에 호소하는 부분입니다.

글을 대중적으로 쓰다보니(제가 전문적이지도 않은것도 요인) 어떤 분들께는 허접하다고 느끼실 수 있습니다. 그렇지만 이 블로그의 목적이 대중에게 수학을 알리는 것임을 기억하신다면 재미있게 읽으실 수 있습니다.
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