수열의 극한과 함수의 극한은 극한을 구한다는 점에서 공통점이 있지만, 극한을 구하고자 하는 대상(수열 혹은 함수)의 정의역이 다르다.(자연수 v.s. 실수)


개인적으로, 이 차이점이 학생들에게 수열의 극한보다 함수의 극한을 더 어렵게 느끼게 하는 것이라고 생각한다.


왜냐하면, 수열의 극한에서 'n이 무한대로 간다'에서 n이 1, 2, 3, ... 이렇게 단조롭게 커진다고 생각하면 이해가 쉬운데 반해서


함수의 극한에서는 'x가 2에 무한히 가까워질때 ' 혹은 'x가 2에 수렴할때'라고 할때, x는 정의역에서 실수선을 따라 움직이기 때문에


('움직인다'는 표현은 옳지 않지만 고등학생들에게는 그렇게 가르치므로 우리도 그렇게 표현하겠다)


정확히 x가 어떤 경로로 2에 다가가는지 상상하기 힘들다. 그저 막연히 스르륵 흘러 간다고 생각하고 넘어가게 되지만 극한을 구하는 과정이 조금은 막연해지는 느낌이 든다. 적어도 나는 그랬다.


집합론을 빌려 표현하자면, 수열은 정의역이 자연수집합인데 자연수 집합은 countable이고, 고등학교에서 함수의 정의역은 실수의 부분집합이므로 uncountable이다. 그런데 사람은 countable은 쉽게 이해할 수 있고 uncountable은 그렇지 않으므로 어려움의 차이가 발생한다는 것이다.


그렇다면 함수의 극한을 수열의 극한처럼 풀 수는 없는걸까?


가능하다. 가능하니까 지금 이러고 있겠지.


몇몇 해석학 교재들은 연속성과 같은 극한의 개념이 필요한 용어들을 수열을 통해 정의하기도 하는데(대표적으로 Bartle) 이를 sequential definition이라 한다.


예를 들어 다음과 같이 함수의 연속을 수열로 정의할 수 있다.


$$\begin{align}
&\mbox{Sequential definition of continuity of a function}\\
&\mbox{Let } f \mbox{ be a function defined on a subset } D \mbox{ of } ,\\
&\mbox{then } f \mbox{ is continuous at } x=a \mbox{ in } D \mbox{ if and only if}\\
&\lim_{n\rightarrow\infty}{}f(x_{n})=f(a) \mbox{ for every } x_{n} \mbox{ convergent to } a
\end{align}$$


a로 수렴하는 모든 수열을 함수에 먹이고 n을 무한대로 보내는 극한을 통해 x = a에서의 연속성을 정의했다.


잠시 중고등수학을 벗어나 이야기해보자면


이 정의의 장점은 기존의 입-델보다 이해하기 쉽다는 것이다. 이해하기 쉬운 뿐 아니라 연속성 증명에서 어려운 입-델을 불러내어 부등식을 요리조리 풀지 않고, 수렴하는 임의의 수열을 불러내어 수렴하는 수열들의 성질들을 잘 조합해서 증명할 수 있다.


그럼 이 정의를 이용해서 함수의 극한 문제를 풀어보기 전에 한가지 자명한 사실을 언급하자.


$$\lim_{n\rightarrow\infty}{\frac{1}{n}}=0$$




풀이.


$$\begin{align}
&x\rightarrow3\mbox{이므로 } x_{n}=3+\frac{1}{n}\mbox{으로 잡는다.}\\
&\mbox{주어진 함수에 대입하면 다음을 얻는다.}\\
&\frac{\lgroup3+\frac{1}{n}\rgroup^{2}-12}{\frac{1}{n}}=\frac{\frac{7}{n}+\frac{1}{n^{2}}}{\frac{1}{n}}=\frac{7+\frac{1}{n}}{1}=7+\frac{1}{n}\\
&\mbox{따라서 답은 } 7
\end{align}$$



함수의 극한이 수열의 극한을 포함하는 문제의 예시.


$$\begin{align}
&x\mbox{가 } 0 \mbox{에 수렴하므로 } x_{n}=\frac{1}{n} \mbox{으로 잡는다.}\\
&\mbox{대입해서 계산하면}\\
&\frac{\sqrt{1+x_{n}}-1}{x_{n}} = \frac{\sqrt{1+\frac{1}{n}}-1}{\frac{1}{n}} = \frac{\sqrt{n^{2}+n}-n}{1} = \sqrt{n^{2}+n}-n
\end{align}$$


이 방법에 있어서 장점이 뭘까?


그냥 별난 풀이 정도로만 보면 될까? 음. 필자는 그렇지 않다고 생각한다.


함수의 극한을 수열의 극한으로 환원시켜 푸는 방식의 가장 큰 강점은 불연속 함수의 좌극한 / 우극한 계산에 있다. 기존의 방식으로는 불연속 함수의 그래프가 주어지거나 없으면 그려서 그림으로 유추해 내어야 한다. 그러나 이 방식은 불연속 함수의 식이 주어진다면, 그래프를 그리는 수고를 하지 않고 풀 수 있다.


$$\begin{align}
&f(x)=\begin{cases}
x^{2}+1 &x<0 \\ -x^{2}-1 & x>0
\end{cases}\\
&\text{$x=0$에서의 좌극한을 찾으려면 $x_{n}=0-\frac{1}{n}$으로 놓자.}\\
&\text{대입하여 계산하면 $\lgroup-\frac{1}{n}\rgroup^{2}+1\rightarrow1$이다.}\\
&\text{따라서 $\lim_{x\rightarrow0-0}{f(x)}=1$이다.}
\end{align}$$


좌극한 / 우극한에서 정의역의 방향과 움직이는 방식을 수열로 구체화시켰기 때문에 이해하기 쉽고 계산도 쉽다.



저작자 표시 비영리 변경 금지
신고
  1. baumgarten 2016.04.15 01:02 신고

    두 번째 문제에 대한 설명이 보충되어야 하지 않나요.. 위의 것은 함수의 연속성에 대한 정의를 극한에 대해 수렴하는 임의 수열의 개념을 도입하여 제시하는 것이지 극한만을 다루는 것이 아니니... 그러니 제가 말하고자 하는 바는 두 번째 문제는 연속함수인 f서 f(0)을 구하는 게 아니니까요 그저 극한값을 구하는 건데.

오랜만에 쓰는 고등학교 수학 글이다. 수학을 전공하면서 자연스럽게 과외와 학원 일을 많이 했는데, 전공자의 눈으로 중고등학교 수학을 다시 보니, 교과서가 허점이 많다는 걸 알았다. 일반 사설 문제집도 가끔씩 잘못된 문제(problem)들이 나오는데, 그 문제(problem)가 잘못되었단 걸 아는 사람이 별로 없다는 것이 진짜 문제(issue)다.


오늘 그 중 하나를 이야기해보자.





내용 : 수열의 부분합과 일반항의 관계.



$$a_{n}=f(n)$$


일때,


$$S_{n}=\sum_{k=1}^{n}{a_n}$$


이라 하자. 이 Sn을 부분합(partial sum)이라 한다.


부분합에는 다음과 같은 정리가 있다.


$$\begin{align}S_{n}-S_{n-1}&=a_{n}\mbox{ (n}\ge2\mbox{)}\\a_{1}&=S_{1}\end{align}$$


증명이 어렵지는 않으니, 생략하고.


한가지 의아한 점이 있다. 왜 n이 2이상이어야 할까? 아, 물론 n = 1이면 S_0이 나오고 이것은 정의한 내용이 아니므로 n이 2이상이어야 한다. 그럼 다음 문제를 풀어보자.


$$\mbox{Let } S_{n}=n^{2}+4n\mbox{, then find } a_{n}$$

$$\begin{align}S_{n}-S_{n-1}&=n^{2}+4n-(n-1)^{2}-4(n-1)\\ &=2n+3\\&=a_{n}\mbox{ for } n\ge 2\end{align}$$

$$S_{1}=a_{1}=5 \mbox{이고 } n\mbox{이 } 1\mbox{일때, }\ 2n+3=5 \mbox{이므로 } a_{n}=2n+3, n\ge1$$

 

음.. 즉, 부분합의 차를 이용해서 일반항을 구하는 것은 초항에 대한 정보를 얻기 힘든데, 부분합의 n에 1을 대입하면 초항이 나오니까 초항과 두번째항이 부분합으로 구한 일반항의 규칙을 만족하는지 검사했더니 잘 되어서 답을 이렇게 냈다.


그럼 다음 문제를 보자.


$$\begin{align}

S_{n}=2n^{2}-n+2, a_{n}=?
\end{align}$$

$$\begin{align}
&\mbox{이전 문제와 같이 풀면, } a_{n}=4n-3, n\ge2 \mbox{ 그리고 } 3=a_{1}=S_{1}\neq=4\times1-3=1 \\
&\mbox{따라서 } a_{n}=4n-3, n>1, \mbox{그리고 } a_{1}=3
\end{align}$$


1번 문제와 비교를 해보니, 수열의 부분합이 n에 대한 2차식이고 상수항이 0이면 초항부터 규칙을 따르는 등차수열이고 상수항이 0이 아니면 두번째 항부터 규칙을 따르는 등차수열이라고 결론을 지을 수 있고 실제로 많은 사람들이 이렇게 가르친다. 하.지.만.


.

.

.

.

.


다음과 같은 수열을 생각해보자.


$$
a_{1}=3, a_{2}=1, a_{n}=n n>2 \mbox{이면}\\
\begin{align}
S_{n}&=(a_{1}+a_{2})+a_{3}+\cdots+a_{n}\\
&=4+\left\{\frac{n(n+1)}{2}-3\right\}\\
&=\frac{n(n+1)}{2}+1
\end{align}$$


위 수열에서 부분합만 가지고 앞의 두 문제처럼 풀어보자.


$$\begin{align}
&S_{n}=n(n+1)/2+1 \mbox{이면, }\\
&a_{n}=S_{n}-S_{n-1}=n, n\ge2\mbox{이다.}\\
&\mbox{그런데 } a_{1}=S_{1}=2\neq1\mbox{인데, }\\
&a_{n}=n, n>1 \mbox{이고 } a_{1}=2 \mbox{이므로 모순}
\end{align}$$


응? 


이해가 가는가?


내가 제시한 수열은 두번째 항까지는 등차수열의 규칙을 따르지 않는다. 그래서 기존 풀이로 접근하면 틀릴 수 밖에 없다.


기존 교과서 내용 중 수학적으로 잘못된 부분이 바로 이 부분이다.


수열은 얼마든지 규칙을 따르지 않을 수 있다. 반드시 초항만 규칙을 따르지 않고 두번째 항부터 규칙을 따르라는 법이 없기 때문에


$$\begin{align}
S_{n}-S_{n-1}&=a_{n}, n\ge2\\
a_{1}&=S_{1}
\end{align}$$


여기에서 n ≥ 2 이 부분이 잘못되었다. 사실은 처음부터 몇번째 항까지 규칙을 따르지 않는지 명시해야 한다.


물론, 교과과정에서 초항이 규칙을 따르지 않는 것만 명시적으로 가르친다면 상관없지만 그런 설명이 없기 때문에 문제가 된다.


이때문일까? 수능에서는 이런 문제가 제대로 나온 적이 없다. 왜냐? 수능은 항상 논란거리를 만들지 않아야 하니까. 혹시 나왔었다면, 그 해 평가원 수준이 딱 그 수준인거다.


실제로 수학에서, 어떤 규칙 A를 따르는 수열을 A sequence라고 한다면 규칙 A를 유한개의 항을 제외한 나머지에서 따르는 수열은 quasi-A sequence 와 같이 quasi, pseudo- 등을 사용해 이름 붙이기도 한다. 우리가 살펴본 마지막 예제는 처음 2개의 항은 등차수열의 규칙을 따르지 않으므로 임의로 quasi-arithmetic sequence라고 불러 볼 수도 있다.


저작자 표시 비영리 변경 금지
신고
  1. baumgarten 2016.04.15 01:16 신고

    만약 그러면 처음 m개의 항이 임의로 설정되었다면
    "S_n 마이너스 S_n-1 = a_n (n은 m+1이상)
    a_1 은 뭐 a_2 는 뭐 ... a_m은 뭐"

    이런 식으로 하면 되겠나요

  2. catchess 2016.04.15 21:15 신고

    교재의 설명이 그렇게 되어있다면 문제가 될 수도 있겠지만 출제 유형에 맞춰 쉽게 설명했다고 하면 이해가 돼요.

    실제로 현장에서 그렇게 안가르쳐요. 단순히 변수n에 대한 수열이라고 하지않고, 정확히 등차수열, 자연수 제곱의 합, 세제곱의 합 등으로 규칙을 명시합니당.

    물론 수열의 일부가 규칙을 따르지 않는다면 제외하고 나머지 부분을 새로운 수열로 간주하라는 것도 늘 얘기하는 부분. 특별한 설명이 없다면 출제유형도 일반항의 형식으로 n의 범위 안에서 등차임을 전제로 합니다.

  3. 2016.05.14 00:35 신고

    맨 마지막 Sn = n(n+1)/2 + 1 식에 n= 1, 2를 넣으면 a1 =2, a2 = 2 나옴.
    즉 Sn 식을 잘못구함 ㅅㄱ

    • 2016.05.14 00:39 신고

      그냥 가려다가 논란의 여지 없이 확실히하자면 여기서 Sn은 3이상의 n에서 정의되기 때문에 an을 저딴식으로 계산하면 안됨.
      덧붙이자면 고등학교 문제에서는 Sn 식이 n=1, 2, ... 다 성립하는걸로 주어지기 때문에 결국 글쓴이의 논조는 빗나감 ㅅㄱ

    • 글쓴이 2016.05.14 01:50 신고

      그래 수고했다.

위상수학을 하다보면 위상한 나라의 앨리스가 된 기분이 들때가 종종 있다. 해석학을 하다보면 함수가 정의된 공간이나 수들의 공간의 특성이 곧 함수의 특정한 성질들을 결정한다는 것을 알게 되고 이것에 대한 연구가 보통 학부3학년 1학기에 배우는 일반위상수학(General topology)에서 이루어 졌다. 일반 위상수학을 하다보면 기존 유클리드 공간에서 너무나도 당연하게 성립하던 내용들에 대한 반례들을 배우게 되는데(하우스도르프 공간이나 이런거) 공부하다보면 위상수학은 철학의 '존재와 시간'같은 느낌이 든다. (연결이란 무엇인가? 이런 질문에 대한 답을 하는 것이니 비유가 적절한 것 같다)


각설하고. 여기서 다룰 내용은 일반 위상수학의 내용은 아니다. 위상수학을 두 학기동안 가르치는 학교라면 2학기때 호모토피를 가르치는데 배우다 보면 중간에 신기한 내용들이 많다. 오늘은 그 중 두개를 포스팅하겠다.



S^2 는 sphere를 말하고 R^2는 2차원 실평면을 말한다. 구에서 평면으로 가는 연속함수는 정의역인 구 위에 반드시 함수값이 같은 적어도 한쌍의 대척점(지구상 정반대 위치)들이 존재한다는 뜻이다. 증명은 여러 증명들을 단계적으로 이용해야 하고 각 증명들도 짧지 않아서 블로그에 포스팅하기는 어렵다.


이 정리의 따름 정리(Corollary)를 살펴보자



매순간마다 지구상에 반드시 특별한 두 대척점이 존재하는데 이 두 대척점에서는 온도와 바람의 속력이 같다는 뜻이다. 이게 무슨 황당한 소리인가 싶지만 증명이 된건 어쩌랴.


위 따름 정리에서는 지구 각 지점에 (온도, 바람속력)을 대응시키는 연속함수를 고려하면 Borsuk-Ulam정리를 통해 증명이 끝난다. 개인적으로는 아래 정리가 더 신기하다.




구 위에 정의된 (연속) 벡터필드는 반드시 어딘가에 0이어야 한다는 뜻이다. 즉, 그곳에서는 영벡터라는 것이다. 이게 무슨 뜻이냐면


매순간, 지구 상에는 반드시 바람이 불지 않는 곳이 적어도 한 곳 있다는 뜻이다.


직관적으로 설명하자면 바람이 계속 분다면, 어딘가에서는 바람들을 내보내(Source)야 하고, 어딘가에서는 이 바람들이 들어와(Sink)야 한다는 것이다. 언뜻 생각하면 바람들이 사라지지 않고 계속 돌아다닐 수 있을 것 같지만, 그런 직관이 불가능하다는 것을 위 정리를 통해 알 수 있다.


언뜻보면 말도 안되는 것같은 이런 정리들을 그냥 '그런가보다'하고 받아들여야 할까 아니면 이것들이 제시해주는 수학적인 통찰이 있을까? 나는 이런 것을 보면, 다시 한번 함수의 성질은 정의역의 특성에 의존하는 정도가 매우 크다고 느낀다. 그래서 더더욱 함수 자체보다는 함수가 정의된 공간이 open인지 connected인지 이런 추상적인 개념을 위상수학에서 가르치는 것이 아닐까?


보너스로 정말 관찰하고 싶은 사람은 지구 바람 지도를 통해 살펴보자.


http://earth.nullschool.net/#current/wind/surface/level/orthographic=-227.66,32.91,701




위상수학에는 이런 난해한 내용이 꽤 있지만, 사실 너무 당연해서 어이가 없는 정리도 있다.

대표적인 예가 조르당 곡선 정리인데, 평면위의 임의의 폐곡선은 항상 평면을 곡선의 내부와 외부로 분할한다는 내용이다. 당연한 내용이 늘 그렇듯 증명의 난이도는 하늘로 솟구친다. 뭐.. 절대 못 알아들을 정도는 아닌데 증명도 길고 그전에 알아야 할 내용들도 적지 않다.


예전에 지역아동센터에서 교육봉사할때 여름방학마다 후배들을 모아서 아이들에게 수학놀이를 시키겠다고 이것저것 찾아서 교보재를 만들었었는데, 조르당 곡선 정리의 응용으로 아이들에게 복잡한 폐곡선을 주고 내부와 외부를 찾으라고 시키기도 했다. 근데 애들이 너무 잘 찾아서 재미가 없었다.

저작자 표시 비영리 변경 금지
신고
  1. Abelian 2016.04.02 19:59 신고

  2. 물리성애자 2016.04.10 23:28 신고

    대부분의 고급학문으로 도출된 증명이나 수식으로 뽑아낸 결과물을 놓고보면 의외로 가장 단순하게 보는게 정답일때가 많죠. 진짜 개념자체가 양자역학처럼 이중성을 띠는게 아닌이상 가장 순수하게 보는 눈이 정답을 찾아낼때가 많은것같습니다..

  3. baumgarten 2016.04.15 01:19 신고

    저는 하이데거 보다는 칸트를 추천합니다. 순이비가 최고

일때문에 확률과 통계를 공부할 일이 많아서 한동안 고생했다. 내가 나온 학교는 확률이랑 통계를 거의 가르치지 않았기 때문이다. 게다가 본인은 통계를 너무너무 싫어해서 내 남은 삶에서 통계와는 관계를 맺고 싶지 않았다. 그나마 다행인건 현재 하는 일에서 요구하는 통계 지식은 그렇게 버겁지 않은 내용들이다.


이번에 소개할 내용은 베이즈 정리에 따른 베이지안 추론인데.. 서두에 밝혔다시피 나는 이러한 주제에 대해 뭔가 쌈빡한 글을 쓸 입장이 아니다. 그런데 이번에 공부하면서 좋은 글을 읽고 베이즈적인 사고방식을 이해할 수 있었다.


단지 그 글이 좋아서 포스팅하는 것은 아니고, 베이지안들의 마음을 이해하게 되면서 통계에 대한 증오가 조금은 사라졌달까? (물론 베이지안들은 소수자이지만)


원문 : 링크


두고두고 시간나면 읽기 위해 번역을 좀 해봤다. 그래서 공유하고자 한다.


번역본 :

Bayesian Reasoning for Intelligent People 번역본.docx


참고로.. 영어 실력 부족으로 중간에 유명한 사람의 인용문은 번역하지 못했다.

저작자 표시 비영리 변경 금지
신고
  1. ghghgh 2016.04.14 20:27 신고

    감사합니다. 유용하게 쓰겠습니다.

  2. Baumgarten 2016.04.16 05:17 신고

    11번 식에서 P(AB|친구)를 구하는 데에서 P(AB|친구아님) 이 들어가니 약간 혼란... 같이 움직임이 무슨 뜻이에요? 만나고 나서를 의미하나요?
    (여담; 데이비드 흄보다는 칸트!)

  3. ubuntu 2016.04.25 09:43 신고

    감사합니다. 재미있게 잘 읽었습니다.

회사에서 기초수학 세미나를 할 일이 있어서 열심히 대충 만든 파일입니다. 응용분야에서 많이 사용하는 선형대수 알고리즘인 PCA(주성분분석)을 이해하기 위해 필요한 내용들을 정말 간단하게 요약한 것으로, 이미 선형대수를 한번은 수강하셨던 분들에게 추천합니다.


수많은 교재들이 있지만 이 글의 장점은 행렬을 바라보는 관점을 먼저 제시하고, 목적에 따라서 주어진 행렬을 이해해야 한다고 강조하는 점입니다. 이 부분은 어떤 교재에도 없다고 생각합니다.


제가 선형대수를 공부하면서 항상 마음 속 깊이 혼란스러웠던 것이 결국에 주어진 상황에서 행렬을 과연 무엇으로 보고 있는가?에 대한 이해가 부족했던 것이어서 이 부분을 강조했습니다.


A Short Cut to Understanding PCA.pdf


부족한 점이나 잘못된 점 지적 환영합니다.(단, 부드럽게)


참, 그림같은거 넣어야 하는데 안 넣어서.. 죄송합니다. 수정을.. 해야하는데..

저작자 표시 비영리 변경 금지
신고
  1. LSH Project 2016.03.12 10:18 신고

    감사합니다. 잘 읽겠습니다 :)

  2. unclezeze 2016.03.23 15:08 신고

    ^^:; 다운 받으려고 하는데 새로고침 페이지가 뜨네요..

  3. magiclight 2016.04.02 19:19 신고

    열심히 대충 ㅋㅋ...
    내용은 무난하네요.

  4. Baumgarten 2016.04.15 13:35 신고

    1)토폴로지 basis랑은 벡터에서 뭐가 달라요?
    2)spanning set은 항상 존재하나요 유일하나요?
    3)eigen이 독일어 '고유'인데 그거랑 관련있나요
    4)그람 슈미트가 뭐에요.
    5) eigenvector나오는 데 부터..ㅠㅠ
    6) 여기 여기에 그림이
    7) 9쪽에 different than 을
    8) 정의11 왜 동치에요?

    • 1)
      선대의 basis는 공간 속 임의의 '원소'를 unique하게 표현하게 해주는 도구이고

      위상수학의 basis는 공간을 구성하는 open set을 표현하게 해주는(may not be uniquely) 도구입니다.

      임의의 open set이라 하면 다루기 어려우나, 잘 정의된 오픈셋 클래스들을 이용해 표현할 수 있다면, 좀 더 위상을 이해하기 쉬워지겠죠

      2)
      벡터 공간에 basis는 항상 존재한다고 증명되어 있습니다. axiom of choice 이용해서요.

      3)
      고유값이라고 불리니까 eigen을 쓴거구요 주어진 linear transformation이 벡터 공간을 mapping하는 과정에서 변하지 않고 보존하는 고유의 부분공간이 있는데 그 부분 공간의 basis를 아이겐벡터라고 합니다.

      4)
      그람-슈미트는 일반적인 basis를 orthonormal basis로 바꿔주는 방법입니다.

      5)
      ??

      6)
      이게 회사 내에서 수학 비전공자들에게 리뷰해주기 위해 만든거라서 그림같은건 직접 화이트보드에 그렸기 때문에 이 pdf파일은 많이 부족합니다. 실제 강의를 위한 보조자료일뿐입니다. 그리고 딱히 더 보강할 계획은 없습니다. pdf파일 만드는게 워낙 힘든 일이라서요.

      7)
      ??

      8)
      정의11이 무엇과 동치인지 물어보시는지 모르겠습니다.


오랜만에 쓰는 글입니다. 많이 부족해도 이해해주시기 바랍니다.

오랜만에 블로그에 방문해서 달려있는 댓글들을 읽던 중 선적분에 대해 글을 올려달라는 요청을 보았습니다.  마침 다시 글을 올리고 싶었는데 무엇부터 올려야 할지 몰라 이러지도 저러지도 못하고 있었는데 잘 되었다 싶어 이렇게 글을 올립니다.




  미분적분학에서 선과 관련있는 적분이 2개 있다. 하나는 경로적분(Path integral)이고 다른 하나는 오늘 포스팅할 선적분(Line integral)이다. 선적분은 기본적으로 물리에서 말하는 일(Work)의 개념이다. 따라서 물리적인 상황을 생각하면 이해가 쉽다. 우선 수학적인 정의부터 살펴보고 그 안에 담긴 의미를 살펴보자.


출처 : 위키피디아


여기에서 F는 벡터장(Vector field)이고 C는 적당히 부드러운 공간 상의 곡선이다. r 은 쉽게 말해 곡선 C를 나타내는 함수식이다.


여기서 잠깐 고등학교때 배운 물리를 다시 기억해보자.


노란 박스를 움직이기 위해 파란색 화살표가 나타내는 방향과 크기만큼의 힘을 가했을때, 이 힘이 움직이는 방향 r  로 얼마나 유효한 영향을 미치는지 알기 위해 우리는 진행방향과 힘 F 사이의 예각을 θ 라 할때, cosθ 를 계산했다. 그리고 조금만 더 공부하면 이게 사실은 진행방향 벡터 r 의 크기를 1로 가정했을때, 와 의 내적(dot product)이라는 것을 알게 된다.


일종의 유효타격이라고 생각하면 된다.



자, 이제 설명을 해보자. 우선,


다음과 같이 어떤 지역에 바람이 불고 있다고 해보자.




이제 이 지역을 다음과 같은 경로를 따라 지나가려고 한다.



이제 이런 경로를 따라 갈때, 바람이 내가 가고자 하는 경로를 따라 나를 얼마나 도와주는지 아니면 방해하는지를 알아보고자 한다. 쉽게 말해, 바람이 나를 뒤에서 밀어줄지 아니면 앞에서 맞바람으로 막아서 힘들게 할지를 알아보고자 하는 것이다. 물리 용어로 표현하면 바람이 나에게 어떤 일을 하는지 알아보는 것이다. 그래서 이동 경로 중 어느 한 부분에서 일어나는 일을 다음 그림으로 살펴보자.



저 순간에서 바람이 진행방향으로 미치는 알짜힘(유효타격!?)은 다음과 같다.



이것을 시간에 따라 처음부터 끝까지 적분하면 처음부터 끝가지 움직이는 동안 받은 모든 알짜힘들을 합치는 것이므로



이 적분이 내가 움직이는 동안 바람이 나에게 미친 영향이다. 여기서 



임을 이용하면



이것이 우리가 원하는 선적분이 된다. 생긴건 무섭게 생겼지만 움직이는 경로에서 바람이나 강물이 내가 움직이는 방향으로 준 힘들의 총합임을 생각하면 정말 당연한 정의가 된다.


이렇게 정의를 배우고 문제를 풀어보자.


주어진 벡터 필드 


움직일 경로 곡선


움직이는 시간


선적분을 구하기 위해


1. 임의의 점 c(t) 에서의 벡터(바람)



벡터필드에 위치 c(t)를 입력해서 해당 위치에서의 벡터(바람)을 계산했다.


2. 임의의 점 c(t) 에서의 순간 진행 방향



3. 임의의 점 c(t)에서의 바람이 진행방향에 미치는 알짜힘



4. 0초부터 끝까지 적분하면



이렇게 간단한 계산을 할 수 있게 되었다. 그런데 특별한 경우에 계산이 매우 쉬운 경우가 있는데, 일변수 정적분에서 미적분학의 기본정리같은 것이 선적분에도 있다. 사실 선적분의 기본정리라고도 하는데 이 내용은 다음에 하도록 하겠다.






다음 시간 예고

선적분의 기본정리, Path independence of Line integral, Conservative vector field




저작자 표시 비영리 변경 금지
신고
  1. leekeon 2015.06.27 11:23 신고

    우와~~ 오랜만이라 더욱 반갑습니다.
    잘 보고 갑니다. 앞으로도 좋은글 많이 부탁 드립니다

  2. leekeon 2015.06.28 15:06 신고

    다음에 시간되실때 다양한 적분(리만, 일반리만, Darboux, R-S 적분)의 개념적인 차이와 장단점? 등을 한번 정리해 주시면 감사하겠습니다~~ ^^

  3. dkssudgktpdy 2015.07.18 14:50 신고

    잘 읽었습니다. 조금 이해가 안가는 부분이 있는데 위의 적분값이 알짜힘이 되기 위해선 r'(t)의 크기가 1이어야 하지 않나요?

    • 게으른 둔재 2015.07.23 06:06 신고

      안녕하세요~ 나름 아는대로 설명해보자면...
      r'(t)의 크기가 1이 되어야 한다고 생각하시는 이유가 "힘(F)을 시간에 대해서 적분해야 하니까"라고 생각하셔서... 이지 않을까 싶은데요.
      정확히는 힘을 '경로'에 대해서 적분한다고 생각해야 옳습니다. (그게 일-Work-의 정의니까요.) 미소변위 dr동안 한 일의 양이 Fdr이고, 이걸 '경로'에 대해서 적분한다고 보시면 됩니다. 그런데 dr = (dr/dt)dt 라서 F(dr/dt)를 시간에 대해서 a부터 b까지 적분한다...라고 이해하시면 되지 않을까 싶습니다!
      혹시 설명이 잘못된 부분이 있다면 지적해주세요!

  4. 게으른 둔재 2015.07.23 05:58 신고

    오랜만에 글 남기시네요. ㅋ 안 그래도 요즘 시간이 남아서;; vector calculus 공부중이었는데... 지금 보고 있는 부분을 포스팅으로 뙇! ㅎㅎ 다음 시간도 기대하겠습니다.

  5. 닥터K 2015.10.08 09:02 신고

    선적분의 물리적 개념이 훅 와 닿습니다
    고맙습니다

  6. msh10141 2015.12.15 22:56 신고

    감사합니다!

  7. lol123 2016.12.14 02:16 신고

    감사합니다!!

  8. 쫘두 2017.03.06 18:11 신고

    안녕하세요 글 잘보았습니다. 그런데 한가지 질문이 있습니다. 좌표에 대한 함수 r(t)는 각 x,y,z 로 표현되므로 벡터로 봐야하는게 맞는것이겠죠?
    그런데 벡터는 '크기'와 '방향' 을 가져야 잖습니다. 그렇다면 좌표를 나타내는 벡터함수 r(t) 의 각좌표에서 '크기' 와 '방향' 은 무엇입니까?

    • 대학수준에서 벡터는.. 2017.03.12 22:40 신고

      일반적으로 대학수준에서의 벡터는 좌표로 표시되며, 이는 원점을 시점으로 하는 위치벡터 임을 의미합니다. 다시 말해서, 종점이 바로 표시된 r(t)의 좌표이고, 시점이 원점이라는 얘기입니다. 그러면 크기와 방향문제가 모두 해결되겟네요

미적분학의 기본정리

Fundamental Theorem of Calculus


  수학의 여러 분야에는 기본정리(Fundamental Theorem)이라는 것이 종종 있다. 대수학에는 대수학의 기본정리가 있는데 미적분학에는 미적분학의 기본정리가 있다. 해당 분야의 근본적인 문제에 답을 주는 정리들이 기본정리라고 불리는 것 같다. 오늘은 미적분학의 기본정리를 알아보자.




  대한민국에서 고등학교를 다녔다면 대부분 미적분학을 조금씩은 배운다. 곡선과 x축 사이의 넓이를 구하기 위해 정적분을 하지만 그 정적분 계산을 피적분함수의 부정적분을 구해서 구간의 끝 값에서의 부정적분함수의 값 차이를 이용해 구하기 때문에 많은 사람들이 원래 정적분이 부정적분이랑 거의 같은 것이라고 생각하는 것 같다.


바로 이거!


그러나 원래 정적분과 부정적분은 아무 상관이 없다. 정적분은 전에 올린 리만적분 글에서 말했듯 급수의 극한이고 부정적분은 그냥 미분해서 f(x)가 나오는 미지의 함수 F(x)를 찾는 것이다.


똑같은 인테그랄 기호 사용한다고 같다고 착각하면 안된다!


사실 둘은 완전 다른거!


그런데 특별한 경우에 둘 사이의 관계가 발생!


그게 바로 미적분학의 정리가 말하는 것!


별 생각없이 하던 계산이 사실은 매우 놀라운 정리의 결과였다는 것


보통은 블로그 글에서 증명은 잘 안하지만 미적분학의 기본정리는 좀 해둘 필요가 있어서 간단히 서술하고자 한다.


미적분학의 기본정리(Fundamental Theorem of Calculus)



일단 딱 봐도 아무때나 사용할 수 있는게 아니라 조건이 적지 않게 달렸다. 저기서 집합 E와 조건 (b)는 무슨 소리냐면, 정의역 [a,b]에서 유한개의 점에서는 함수가 나쁘게 행동해도 적분에는 별 영향을 주지 못한다는 뜻을 어렵게 써놓은 것이다.


대략적인 증명)



수학에서 엄청 중요하게 쓰이는 정리 중 하나인 중간값 정리가 여기서도 빛을 발한다.



미적분학의 기본정리를 통해 서로 다른 두 세계 사이에 다리가 놓였다.


미적분학의 기본정리를 사용할 수 없는 예제1.



이유 : 주어진 함수의 antiderivative(원시함수 F(x))를 찾을 수가 없다.(사실은 있는데 우리가 알고 있는 초등함수(다항, 삼각, 지수, 로그, 유리, 무리함수)를 유한번 사용해 표시할 수 있지 않고 analytic하다면 테일러급수같은 무한급수 형태로 표시할 수 있다)


그렇다면 이런 함수의 정적분은 어떻게 구하나? 못구하는건가??


아니다. 미적분학의 기본정리라는 간편한 도구를 사용하지 못하는 것일뿐 정적분의 원래 정의대로 급수를 잘 셋팅해서 구하면 된다.


여기서 알 수 있는 사실이... 사실은 정적분 계산이라는게 엄청 고단한 일인데, FTC가 특별한 경우에 한해서 그 수고를 덜어준다는 것이다. 여기서 보이지는 않겠지만 사실은 다음과 같은 간단한 함수도 리만적분의 정의대로 구하는 것은 상당히 귀찮다.



오늘 이 시간부터 앞으로 정적분 계산때 FTC를 사용한다면 한번씩 라이프니츠와 뉴턴을 생각하며 감사하는 마음을 갖자.




  오늘 이렇게 알아본 미적분학의 기본정리가 사실은 여기서 더 일반화될 수 있다. 지금은 정적분을 하는 영역이 1차원 영역의 일부분이지만 정의역이 2차원, 3차원 혹은 그 이상의 차원인 경우에도 미적분학의 기본정리에 대응하는 정리가 있다. 2차원의 경우 Stokes' theorem이라 하고 3차원의 경우 Gauss' theorem이라고 하는데 이것들을 통틀어 Generalized FTC라고도 한다. 스토크스 정리에 대해서는 다음 시간에 이어서 하도록 하겠다.


저작자 표시 비영리 변경 금지
신고
  1. 창실 2014.04.16 09:02 신고

    e^(x^2)의 정적분값을 근사치가 아닌 정확한 값으로 구할 수 있는가요?

  2. 이재우 2014.05.17 17:53 신고

    중간값정리라고 하신거 오타 이신거 같아용~Mean value theorem 이부분이요

  3. 임정민 2014.07.19 15:22 신고

    이미 루트2 같은것도 십진법으로는 '정확한 값'을 구할수 없네요. 무리수는 언제나 이름을 붙여야만 가능.
    그러므로 이름을 하나 붙이고 정확한 값이라고 말해버리면 될듯.

  4. 명가공인 2014.11.03 13:56 신고

    음냐... 수학을 잘 못했던 저에게는 외계인 용어 같은 느낌이 드는 군요.^^
    블로그 와 주신거 보고 답방차 들렀습니다.

  5. ananas03 2015.01.30 12:12 신고

    읽으면서 정말 감탄을 하게 됩니다
    올리신 모든 글을 정독해야 겠습니다
    감사드려요.

  6. noba7382 2015.06.19 21:54 신고

    유한개의 점에서 불연속이어도 정적분이 정의된다 라는 의미같은데, 그게 어째서 가능한가요
    라플라스 변환보다가 궁금해서 찾아보게 되엇습니딘

리만적분

Riemann Integral




  다음과 같은 상황을 생각해보자.


어떤 함수 f(x)가 구간  [a,b]에서 x축과 이루는 넓이를 구하고자 한다.



고등학교때는 


1. 구간을 n등분하고

2. 등분시킨 각각의 subinterval들의 왼쪽이라 오른쪽의 x값에서의 함수값을 취한다.


그리하여 다음 합을 생각한다. 



위 값이 n이 무한히 커질때 수렴하면 그 값을 함수f의 구간 [a,b]에서의 리만적분이라고 한다.



그런데


꼭 구간을 균등하게 잘라야 하나?

함수값을 꼭 subinterval의 양 끝에서만 골라야 하나?


아니다. 그렇지 않다. 우리가 그렇게 배운 이유는 그렇게 해야 이해하기 쉬우니까였다. 진짜 리만적분을 알아보자. 먼저 리만 적분을 정의하는데 필요한 것들이 있다.



위 3개를 가지고 다음과 같은 급수를 셋팅하자.



이렇게 정한 급수(series)를 리만합(Riemann sum)이라 한다. 


Bartle 책을 보면 저기 저 ξ 를 tag 라고 한다. 그렇지만 저거의 이름이 있든 없든 뭐 중요한건 아니니까 넘어가도록 하자. 이렇게 셋팅한 급수는 파티션 Γ를 잡는 방법만큼 무한히 많이 다양한 값을 가질 수 있다. 그런데 파티션 Γ의 길이(norm)이 방법이야 어떻든 0으로 수렴하도록 한다면, 즉, 잘게잘게 쪼갠다면 그때 수렴할 수도 있다. 만약 수렴한다면 그 값을 a에서 b까지 함수 f의 정적분이라고 정의하는 것이다. 참고로 무한히 많이 자른다고 파티션의 길이가 0으로 수렴하지는 않는다. 한번 잘 생각해보자.


리미트 밑에 무엇이 0으로 가는지 잘 살펴보자.


진정한 리만적분은 고등학교때 배운 리만적분과 달리


1. 정의역을 아무렇게나 막 자르되 많이 자를수록 가장 큰 subinterval의 크기는 0으로 수렴하고

2. 함수 값을 그 subinterval 안에서 아무 x나 골라서 취한다.


이렇게 했을때, 그 급수가 n이 커짐에 따라 일정한 값으로 수렴하면 그때 그것을 리만적분이라 한다. 그림으로 나타내면



꼭 균등하게 자를 필요는 없다

빨간 점이 ξ, 즉, tag다.


|는 가장 큰 sub구간의 길이


실제로 이렇게 계산하려면 거의 불가능하기 때문에 균등분할을 사용하는 것이다. 그렇다면 균등분할을 하면 리만적분 값으로 수렴할까? 자르는 방법에 따라 다르지 않을까?


다행히도 리만적분이 가능한 함수들은 구간을 나누는 방법이 아무리 다르더라도 구간의 norm(가장 긴 subinterval의 길이)이 0으로 수렴하기만 한다면 항상 같은 값으로 수렴한다는 것이 모든 책에 다 나와있다. 어떻게 자르든 작아지게만 자르면 되니까 가장 편한 방법인 균등분할을 하는 것이다.


리만적분 이론에서 가장 중요한 질문은 


어떤 함수들이 리만적분이 가능한 함수들인가?


이다.


이런 질문에 대한 답은 여러 해석학 책에 다 나와있으니 이곳에서 다루지 않겠다.

(정답 : 적분 영역 내에서 불연속인 점을 모은 집합이 measure zero 집합인 경우)


그렇다면 리만적분이 짱인가? 결코 그렇지 않다. 적분에도 여러 종류가 있는데 어떤 함수들은 리만적분이 불가능하지만 다른 적분으로는 계산이 가능하다. 바로 디리클레 함수가 대표적인 예.



아무리 구간을 잘 자르려고 해도 적분 값이 들쑥날쑥이다. 수렴하지 않는다. 그런데 르벡이 고안한 르벡적분으로 계산하면 이 함수의 적분값은 0이다. '행복한 하루'님의 의견을 수렴해서 좀 더 자세히 설명하자면



이 경우 디리클레(프랑스 사람이니까 프랑스 발음으로는 디리쉴레) 함수는 불연속점이 uncountable하게 많다. tag를 어떻게 잡느냐에 따라 아무리 파티션을 잘게 자른다한들 적분 값이 저렇게 적어도 두가지 경우가 항상 가능하므로 수렴하지 않느다 ㅠㅠ


그리고 역으로 생각해볼 수 있는게,


어떤 함수 f가 어떤 영역에서 리만적분가능하다면 다음과 같이 기술할 수 있다.


S(f;Γ)는 위에서 말한 리만합.


리만적분이 가능하면 δ보다 작은 적당한 norm값을 갖는 적당한 파티션을 있어서, 이 파티션을 가지고 만든 리만합과 정적분값 ∫ f 의 차이를 원하는 만큼 줄일 수 있다는 뜻이다.


저작자 표시 비영리 변경 금지
신고
  1. 즐거운하루 2014.04.13 21:26 신고

    아주 잘보고 있습니다만... 제가 아주아주 초보라... 조금만 더 자세히 적어주셧으면 합니다..ㅠㅠ 책들은 다 영어고 양도 많고 해서 엄두가 나질 않아요 부탁드립니다...!!

    • 안녕하세요^^ 또 방문해주신건가요 ㅎ 감사드립니다.
      좀 더 보충 설명을 곧 올리도록하겠습니다. 저는 일일이 다 설명하기보다는 전체적인 흐름을 잡는 글을 쓰는게 주 목적인데 그래도 이 글은 너무 설명이 빈약해보이네요 ㅠㅠ

    • 즐거운하루 2014.04.17 17:36 신고

      아니에요.. 제가 너무 기초를 몰라서... 사실 원론을 거의 안듣다시피햇고 지금 중간고사기간이라 마음이 급하네요 ㅎㅎㅎ
      좋은자료들 정말 감사합니다!!

  2. 창실 2014.04.14 22:42 신고

    고등학교 때 배운 적분과 대학교에서 배우는 리만적분의 차이의 핵심을 잘 나타냈네요

  3. 2014.10.22 02:22

    비밀댓글입니다

  4. Iluvmath 2015.01.26 01:33 신고

    수업시간때는 tag를 각 직사각형의 좌우 2가지 값으로만 했었는데, 여기서 좀더 본질적으로 다뤄주시네요. 다소 지루했었던 과목이었는데, 여기서 재미를 얻어갑니다.

  5. ㅎㅎ 2015.06.01 16:49 신고

    결국 리만적분이라는게 고등학교 때랑 다른건 구간을 균일하지 않게 설정해도 된다라는 의미가 추가되는건가요? ㅎㅎ 미적분학 ㅠㅠ 재밌으면서 어렵네요...

  6. 4123 2015.08.01 22:37 신고

    하아.. 과외하는데 잘못알려줬네요. [0,1]에서 정의된 유리수일때만 1 이고 무리수일땐 0 인 함수를 리만적분이 안되서 적분이 안된다고 해버렸는데, 르벡적분이란것도 있었군요. 아 ㅜㅜ

  7. ㄷㄷ23 2015.12.14 02:42 신고

    적분가능 조건에서 정의역이 countable하게 discontinuous 하면 되는건가요? f에 관계없이? bounded 되지 않은 f는 상관이 없나요. 만약 f(x)=1/x when x<0, f(x)=0 when x>0이라고 하면 discont한 점은 x=0 하나인데 f는 (리만)적분 가능하지 않은것 같은데요.

  8. kei01108 2016.05.04 22:24 신고

    와...진짜 ...감사합니다!!완전 구세주에요 ㅠㅠㅠ짱짱

경계

Boundary




  일반위상수학에서는 해석학과 미적분학에서 다루던 여러가지 개념들을 더 엄밀하게 집합론을 도구로 활용해 정의한다. 예를 들어 질문을 하나 해보자.


'경계'를 수학적으로 정의해보시오.


우리가 일상생활에서도 친숙하게 사용하는 단어인 '경계'를 수학에서는 도대체 뭐라고 정의할까? 답답한데 답부터 보자.


X를 위상공간이라 하자. 그리고 E를 X의 부분집합이라고 하고 E의 경계를 ∂E라 쓰고 다음과 같이 정의한다.



쉽게 말해 경계 위의 점이란, 그 점을 포함하는 open set이 E와 E의 여집합을 동시에 침범해야 한다는 뜻. 여담을 말하자면, 나는 수학을 공부하면서 수학자들이 굉장히 어떤 단어의 본질을 잘 파악하고 있다고 많이 느꼈다. 일상생활의 우리는 경계란 '그냥 끄트머리' 이 정도로만 막연히 생각하는데 수학자들은 필요에 따라, 이런 용어들을 정의할때 해당 용어의 본질을 제대로 파악해서 이것을 잘 기호화한다. 이런 것들을 볼 때마다 소름이 돋는다.


비유를 하나 들어보자. 우리 나라의 국경 중에 38선이 있는데 38선이 국경인 이유는 38선 위에 올라서서 두 팔을 조금이라도 벌리고 한바퀴 돌면 국가보안법을 위반한다. 왜냐면 몸이 넘어갔으니까. 이런 짓은 경계에서만 가능하다. 조금이라도 경계에서 물러난다면, 팔을 입실론만큼 벌리면 아무리 돌아도 북으로 넘어가지 않으니까.


그렇다면 이제 여러가지 상황에서 경계를 찾아보자.



어떤 2차원 평면(그 이상이어도 상관없다) 위에 위와 같은 곡선이 있다. 그러면 저 곡선의 경계는 어디일까?


양 끝점일까?




아니면

아예 몽땅 경계인건가...


보다시피 곡선 위 임의의 점에서 저런 근방에 의해 곡선 바깥과 곡선을 동시에 침범하므로 경계란 없는 것일까?


답은 그때그때 다르다. 왜냐하면 어떤 공간을 기준으로 볼 것이냐에 따라 다르기 때문이다. 이 부분을 정확하게 설명하려면 relative topology 개념이 필요한데 이것까지는 내가 귀찮아서 하기 싫으므로 간략하게 설명하면 



 

 


 이렇게 보면 곡선 전체가 경계

이렇게 보면 양끝이 경계 


두번째처럼 생각하는 경우는 주어진 곡선을 1차원 다양체(manifold)로 바라보겠다는 관점이다.

사실 대부분 다양체 관점을 사용한다.


그렇다면 이번에는 3차원 공간 속 2차원 곡면을 생각해보자.


이것의 경계는 어딜까.



그림이 거지같아서 이해하기 힘들겠지만 이건 뭐냐면 저 빨간 점이 곡면 위 한 점이고 빨간 반원 비스무리한 것은 저 점을 포함하는 3차원 ball을 비교적 입체적으로 나타낸 것이다. 이렇게 보면 이 곡면 전체가 경계면이 되는 것이다. 그러나



이 그림 또한 거지같아서 알아보기 힘들겠지만 저 빨간 원 비스무리한게 저 빨간 점을 포함하는 곡면에만 속한 open set이다. 이렇게 보면 이 곡면의 경계는 끄트머리가 되겠다.


이게 바로 경계선 


즉 해당 다양체의 내부에서 생각할 것이냐 아니면 전체 공간에서 생각할 것이냐에 따라 경계가 바뀐다.

그렇다면 독자에게 질문!


구의 경계는 무엇일까?


구에서 한 점을 빼면 경계는 어떻게 될까?


저작자 표시 비영리 변경 금지
신고
  1. 314 2014.08.13 21:09 신고

    sphere 인가요 ball 인가요

  2. 잠온다 2015.08.20 01:10 신고

    양 끝점을 갖는 선분에서 이 선분에서의 부분공간으로 생각해도 양끝점에서의 열린집합 (부분공간에서)은 부분공간의 원소만을 갖는거 아닌가요?

  3. dd 2016.01.03 03:49 신고

    위상을 어떻게 주느냐에 따라 달라지지 않을까 생각합니다.

  요즘에 공부할 마음이 들지 않아서 공부를 거의 안하고 있다. 그나마 블로그에 글 올리는게 소소한 즐거움이라서 숙제를 풀어서 여기에 올리겠다고 마음 먹어야 공부를 할 것 같아서 이번 학기 해석학 과제를 여기에 풀어서 올리고자 한다.



교재 : Measure and Integral

저자 : Wheeden and Zygmund


Selected Exercises


Chapter 1.



Solution.


교집합이 공집합인 만나지 않는 두 닫힌 집합 사이의 거리가 0일 수 있을까? 처음에는 불가능할 것 같지만 가능하다. 그러나 둘 중 하나가 컴팩트집합이면 거리가 항상 0보다 크다. 대부분의 일반위상수학 교재에 연습문제로 나오는 것으로 알고 있다. 내 풀이에서 저 두 집합이 closed이고 disjoint임을 왜 안 보이냐고 따지면 할 말이 없다. 그런 간단한 것까지 석사생에게 증명을 요구하면 앞으로 문제 풀이가 엄청나게 길어질 수 밖에 없다.




Solution.



뭐.. 가볍게..




Solution.



13번을 이용하면 간단하게 한 큐에 끝.




Solution.



리만적분가능의 정의와 균등수렴을 활용해서 가볍게 끝낸다. 문제 속 bounded 조건을 풀이과정에 사용하지 않았지만 괜찮다 왜냐하면 저 bounded는 리만적분가능성을 보장해주기 위해 나왔기 때문이다.




Solution.



문제만 길지 무지 쉬움.



Chapter 2.



리만-스틸체스적분 문제다.


Solution.




리만적분과 달리 리만-스틸체스 적분은 공유하지 않는 성질이 좀 있다.


Solution.



이 반례가 실제로 저러한지 증명을 해야하지만 사실 그 증명은 책에 나와있다.




Solution.






Solution.




Chapter 3. 




Solution.






Solution.





Solution.






Sol.





Sol.






Sol.






Sol.





Sol.



Chapter 4.




Sol.






Sol.






Sol.






Sol.




Chapter 5.



저작자 표시 비영리 변경 금지
신고
  1. 2016.02.23 03:00

    비밀댓글입니다

    • 오랜만에 보니까 이해하는데 한 1분 걸렸네요^^;

      네, 맞습니다. 함수 f가 음수이고 alpha가 양수라면 좌변의 measure가 0이 되어서 안됩니다.

      사실 저 명제는 적분의 lower bound를 measure로 알려주는 것이라서 f와 alpha가 양수라는 특정한 상황이 주어져야 부등호 방향을 제대로 잡을 수 있습니다. 부호가 달라지면 부등호 방향이 그에 맞춰서 달라지면 됩니다.

      적분이론들을 공부하면 대부분의 경우 논의를 간단히 하기 위해 함수들을 간단하게 가정하는데요. 이렇게 하더라도 일반적인 함수를 다루는데 아무런 지장이 없습니다.

      왜냐하면 음수인 함수 g = -f for some f > 0라고 두고 정리를 f에 대해 적용하여 결과를 그에 대응하여 얻어내면 되고, 중간중간에 부호가 바뀌는 함수는 구간마다 나누어서 정리들을 적용하면 되기 때문입니다.

      다행히도 적분에는 구간별 적분의 합이 구간 전체의 적분과 같다는 성질이 있기 때문이죠.

  2. I Seul Bee 2016.02.23 03:12 신고

    처음부터 끝까지 쭉 읽어봤습니다. 깔끔하고 멋진 풀이가 많네요. 게다가 사이사이에 적힌 주옥같은 멘트도 좋고요.
    앞으로도 좋은 글 부탁드립니다^^

  3. shuiki 2016.03.14 20:48 신고

    질문 하나 드려도 될까요?
    챕터1에 16번 문제에서, |R_{\Gamma}^n \to R_{\Gamma}^*| < \epsilon / 2v(I) * v(I) = \epsilon / 2 가 되어있는데요. 위의 |f-f_n| < \epsilon / 2v(I) 에서 넘어가는 부분이 어떻게 되는건지요?

+ Recent posts