2009년에 수(numbers)에 대한 이야기를 4편에 걸쳐 쓴 적이 있습니다. 어떤 방문자분께서 업데이트를 요청하셔서 오랜만에 읽어봤더니 너무 내용이 개차반이라 이번에 그래도 조금 수정했습니다. 지금 보니 정말 아는 것도 없이 횡설수설해놓았네요. ㅠㅠ 궁금하신 분들을 위해 링크를 드리면...

해석학 관점에서 본 수 이야기 (1) : 자연수
해석학 관점에서 본 수 이야기 (2) : 정수
해석학 관점에서 본 수 이야기 (3) : 유리
해석학 관점에서 본 수 이야기 (4) : 실수

그리고 상한과 하한에 대한 글도 수정했습니다.

상한(Supremum)과 하한(Infimum)

쓰다보니 대수적 관점, 기하적 관점에서의 수 이야기도 짤막하게 써볼 수 있을 것 같습니다. ㅎ

이전에 작성한 글들의 수식을 LaTeX으로 바꾸는 중입니다. 상당히 시간이 걸리는군요. 박근혜 탄핵 전까지는 끝내도록 하겠습니다.


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  1. shane 2017.03.25 15:11 신고

    좋은 글 감사합니다~ 많은 도움되었습니다~

제 최대 단점 중 하나는 미적 감각이 부족하다는 것입니다.

그래서 이번에 단순하면서 모던한 느낌이 그나마 제일 무난할 것 같아서 한번 바꾸어 보았습니다.

더불어, 기존 티스토리 수식편집기의 단점을 커버하기 위해 LaTeX 스크립트를 사용가능하도록 수정했습니다.

방법은 구글 검색으로 알아냈습니다. 링크


샘플 : 

$$\int_{a}^{b}{f(x)dx}=1$$

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  1. I Seul Bee 2017.01.19 21:13 신고

    블로그 수식 입력은 역시나 MathJax가 가장 좋은 것 같아요^^
    앞으로의 글 기대할게요^^





(하라는 청소는 안하고)



근데 문제가 푸리에이론이 아니라 그래프이론이네?

심지어 저 다항식빼면 한국 고등학생들도 잠깐 배웠던 내용들..

옆에 나온 행렬은 수반행렬이고.

영화니까 넘어가주자


이후로 이 교수는 미쳐서..



어벤저스에서 셀빅 박사가 된다.

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수열의 극한과 함수의 극한은 극한을 구한다는 점에서 공통점이 있지만, 극한을 구하고자 하는 대상(수열 혹은 함수)의 정의역이 다르다.(자연수 v.s. 실수)


개인적으로, 이 차이점이 학생들에게 수열의 극한보다 함수의 극한을 더 어렵게 느끼게 하는 것이라고 생각한다.


왜냐하면, 수열의 극한에서 'n이 무한대로 간다'에서 n이 1, 2, 3, ... 이렇게 단조롭게 커진다고 생각하면 이해가 쉬운데 반해서


함수의 극한에서는 'x가 2에 무한히 가까워질때 ' 혹은 'x가 2에 수렴할때'라고 할때, x는 정의역에서 실수선을 따라 움직이기 때문에


('움직인다'는 표현은 옳지 않지만 고등학생들에게는 그렇게 가르치므로 우리도 그렇게 표현하겠다)


정확히 x가 어떤 경로로 2에 다가가는지 상상하기 힘들다. 그저 막연히 스르륵 흘러 간다고 생각하고 넘어가게 되지만 극한을 구하는 과정이 조금은 막연해지는 느낌이 든다. 적어도 나는 그랬다.


집합론을 빌려 표현하자면, 수열은 정의역이 자연수집합인데 자연수 집합은 countable이고, 고등학교에서 함수의 정의역은 실수의 부분집합이므로 uncountable이다. 그런데 사람은 countable은 쉽게 이해할 수 있고 uncountable은 그렇지 않으므로 어려움의 차이가 발생한다는 것이다.


그렇다면 함수의 극한을 수열의 극한처럼 풀 수는 없는걸까?


가능하다. 가능하니까 지금 이러고 있겠지.


몇몇 해석학 교재들은 연속성과 같은 극한의 개념이 필요한 용어들을 수열을 통해 정의하기도 하는데(대표적으로 Bartle) 이를 sequential definition이라 한다.


예를 들어 다음과 같이 함수의 연속을 수열로 정의할 수 있다.


$$\begin{align}
&\mbox{Sequential definition of continuity of a function}\\
&\mbox{Let } f \mbox{ be a function defined on a subset } D \mbox{ of } ,\\
&\mbox{then } f \mbox{ is continuous at } x=a \mbox{ in } D \mbox{ if and only if}\\
&\lim_{n\rightarrow\infty}{}f(x_{n})=f(a) \mbox{ for every } x_{n} \mbox{ convergent to } a
\end{align}$$


a로 수렴하는 모든 수열을 함수에 먹이고 n을 무한대로 보내는 극한을 통해 x = a에서의 연속성을 정의했다.


잠시 중고등수학을 벗어나 이야기해보자면


이 정의의 장점은 기존의 입-델보다 이해하기 쉽다는 것이다. 이해하기 쉬운 뿐 아니라 연속성 증명에서 어려운 입-델을 불러내어 부등식을 요리조리 풀지 않고, 수렴하는 임의의 수열을 불러내어 수렴하는 수열들의 성질들을 잘 조합해서 증명할 수 있다.


그럼 이 정의를 이용해서 함수의 극한 문제를 풀어보기 전에 한가지 자명한 사실을 언급하자.


$$\lim_{n\rightarrow\infty}{\frac{1}{n}}=0$$




풀이.


$$\begin{align}
&x\rightarrow3\mbox{이므로 } x_{n}=3+\frac{1}{n}\mbox{으로 잡는다.}\\
&\mbox{주어진 함수에 대입하면 다음을 얻는다.}\\
&\frac{\lgroup3+\frac{1}{n}\rgroup^{2}-12}{\frac{1}{n}}=\frac{\frac{7}{n}+\frac{1}{n^{2}}}{\frac{1}{n}}=\frac{7+\frac{1}{n}}{1}=7+\frac{1}{n}\\
&\mbox{따라서 답은 } 7
\end{align}$$



함수의 극한이 수열의 극한을 포함하는 문제의 예시.


$$\begin{align}
&x\mbox{가 } 0 \mbox{에 수렴하므로 } x_{n}=\frac{1}{n} \mbox{으로 잡는다.}\\
&\mbox{대입해서 계산하면}\\
&\frac{\sqrt{1+x_{n}}-1}{x_{n}} = \frac{\sqrt{1+\frac{1}{n}}-1}{\frac{1}{n}} = \frac{\sqrt{n^{2}+n}-n}{1} = \sqrt{n^{2}+n}-n
\end{align}$$


이 방법에 있어서 장점이 뭘까?


그냥 별난 풀이 정도로만 보면 될까? 음. 필자는 그렇지 않다고 생각한다.


함수의 극한을 수열의 극한으로 환원시켜 푸는 방식의 가장 큰 강점은 불연속 함수의 좌극한 / 우극한 계산에 있다. 기존의 방식으로는 불연속 함수의 그래프가 주어지거나 없으면 그려서 그림으로 유추해 내어야 한다. 그러나 이 방식은 불연속 함수의 식이 주어진다면, 그래프를 그리는 수고를 하지 않고 풀 수 있다.


$$\begin{align}
&f(x)=\begin{cases}
x^{2}+1 &x<0 \\ -x^{2}-1 & x>0
\end{cases}\\
&\text{$x=0$에서의 좌극한을 찾으려면 $x_{n}=0-\frac{1}{n}$으로 놓자.}\\
&\text{대입하여 계산하면 $\lgroup-\frac{1}{n}\rgroup^{2}+1\rightarrow1$이다.}\\
&\text{따라서 $\lim_{x\rightarrow0-0}{f(x)}=1$이다.}
\end{align}$$


좌극한 / 우극한에서 정의역의 방향과 움직이는 방식을 수열로 구체화시켰기 때문에 이해하기 쉽고 계산도 쉽다.



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  1. baumgarten 2016.04.15 01:02 신고

    두 번째 문제에 대한 설명이 보충되어야 하지 않나요.. 위의 것은 함수의 연속성에 대한 정의를 극한에 대해 수렴하는 임의 수열의 개념을 도입하여 제시하는 것이지 극한만을 다루는 것이 아니니... 그러니 제가 말하고자 하는 바는 두 번째 문제는 연속함수인 f서 f(0)을 구하는 게 아니니까요 그저 극한값을 구하는 건데.

오랜만에 쓰는 고등학교 수학 글이다. 수학을 전공하면서 자연스럽게 과외와 학원 일을 많이 했는데, 전공자의 눈으로 중고등학교 수학을 다시 보니, 교과서가 허점이 많다는 걸 알았다. 일반 사설 문제집도 가끔씩 잘못된 문제(problem)들이 나오는데, 그 문제(problem)가 잘못되었단 걸 아는 사람이 별로 없다는 것이 진짜 문제(issue)다.


오늘 그 중 하나를 이야기해보자.





내용 : 수열의 부분합과 일반항의 관계.



$$a_{n}=f(n)$$


일때,


$$S_{n}=\sum_{k=1}^{n}{a_n}$$


이라 하자. 이 Sn을 부분합(partial sum)이라 한다.


부분합에는 다음과 같은 정리가 있다.


$$\begin{align}S_{n}-S_{n-1}&=a_{n}\mbox{ (n}\ge2\mbox{)}\\a_{1}&=S_{1}\end{align}$$


증명이 어렵지는 않으니, 생략하고.


한가지 의아한 점이 있다. 왜 n이 2이상이어야 할까? 아, 물론 n = 1이면 S_0이 나오고 이것은 정의한 내용이 아니므로 n이 2이상이어야 한다. 그럼 다음 문제를 풀어보자.


$$\mbox{Let } S_{n}=n^{2}+4n\mbox{, then find } a_{n}$$

$$\begin{align}S_{n}-S_{n-1}&=n^{2}+4n-(n-1)^{2}-4(n-1)\\ &=2n+3\\&=a_{n}\mbox{ for } n\ge 2\end{align}$$

$$S_{1}=a_{1}=5 \mbox{이고 } n\mbox{이 } 1\mbox{일때, }\ 2n+3=5 \mbox{이므로 } a_{n}=2n+3, n\ge1$$

 

음.. 즉, 부분합의 차를 이용해서 일반항을 구하는 것은 초항에 대한 정보를 얻기 힘든데, 부분합의 n에 1을 대입하면 초항이 나오니까 초항과 두번째항이 부분합으로 구한 일반항의 규칙을 만족하는지 검사했더니 잘 되어서 답을 이렇게 냈다.


그럼 다음 문제를 보자.


$$\begin{align}

S_{n}=2n^{2}-n+2, a_{n}=?
\end{align}$$

$$\begin{align}
&\mbox{이전 문제와 같이 풀면, } a_{n}=4n-3, n\ge2 \mbox{ 그리고 } 3=a_{1}=S_{1}\neq=4\times1-3=1 \\
&\mbox{따라서 } a_{n}=4n-3, n>1, \mbox{그리고 } a_{1}=3
\end{align}$$


1번 문제와 비교를 해보니, 수열의 부분합이 n에 대한 2차식이고 상수항이 0이면 초항부터 규칙을 따르는 등차수열이고 상수항이 0이 아니면 두번째 항부터 규칙을 따르는 등차수열이라고 결론을 지을 수 있고 실제로 많은 사람들이 이렇게 가르친다. 하.지.만.


.

.

.

.

.


다음과 같은 수열을 생각해보자.


$$
a_{1}=3, a_{2}=1, a_{n}=n n>2 \mbox{이면}\\
\begin{align}
S_{n}&=(a_{1}+a_{2})+a_{3}+\cdots+a_{n}\\
&=4+\left\{\frac{n(n+1)}{2}-3\right\}\\
&=\frac{n(n+1)}{2}+1
\end{align}$$


위 수열에서 부분합만 가지고 앞의 두 문제처럼 풀어보자.


$$\begin{align}
&S_{n}=n(n+1)/2+1 \mbox{이면, }\\
&a_{n}=S_{n}-S_{n-1}=n, n\ge2\mbox{이다.}\\
&\mbox{그런데 } a_{1}=S_{1}=2\neq1\mbox{인데, }\\
&a_{n}=n, n>1 \mbox{이고 } a_{1}=2 \mbox{이므로 모순}
\end{align}$$


응? 


이해가 가는가?


내가 제시한 수열은 두번째 항까지는 등차수열의 규칙을 따르지 않는다. 그래서 기존 풀이로 접근하면 틀릴 수 밖에 없다.


기존 교과서 내용 중 수학적으로 잘못된 부분이 바로 이 부분이다.


수열은 얼마든지 규칙을 따르지 않을 수 있다. 반드시 초항만 규칙을 따르지 않고 두번째 항부터 규칙을 따르라는 법이 없기 때문에


$$\begin{align}
S_{n}-S_{n-1}&=a_{n}, n\ge2\\
a_{1}&=S_{1}
\end{align}$$


여기에서 n ≥ 2 이 부분이 잘못되었다. 사실은 처음부터 몇번째 항까지 규칙을 따르지 않는지 명시해야 한다.


물론, 교과과정에서 초항이 규칙을 따르지 않는 것만 명시적으로 가르친다면 상관없지만 그런 설명이 없기 때문에 문제가 된다.


이때문일까? 수능에서는 이런 문제가 제대로 나온 적이 없다. 왜냐? 수능은 항상 논란거리를 만들지 않아야 하니까. 혹시 나왔었다면, 그 해 평가원 수준이 딱 그 수준인거다.


실제로 수학에서, 어떤 규칙 A를 따르는 수열을 A sequence라고 한다면 규칙 A를 유한개의 항을 제외한 나머지에서 따르는 수열은 quasi-A sequence 와 같이 quasi, pseudo- 등을 사용해 이름 붙이기도 한다. 우리가 살펴본 마지막 예제는 처음 2개의 항은 등차수열의 규칙을 따르지 않으므로 임의로 quasi-arithmetic sequence라고 불러 볼 수도 있다.


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  1. baumgarten 2016.04.15 01:16 신고

    만약 그러면 처음 m개의 항이 임의로 설정되었다면
    "S_n 마이너스 S_n-1 = a_n (n은 m+1이상)
    a_1 은 뭐 a_2 는 뭐 ... a_m은 뭐"

    이런 식으로 하면 되겠나요

  2. catchess 2016.04.15 21:15 신고

    교재의 설명이 그렇게 되어있다면 문제가 될 수도 있겠지만 출제 유형에 맞춰 쉽게 설명했다고 하면 이해가 돼요.

    실제로 현장에서 그렇게 안가르쳐요. 단순히 변수n에 대한 수열이라고 하지않고, 정확히 등차수열, 자연수 제곱의 합, 세제곱의 합 등으로 규칙을 명시합니당.

    물론 수열의 일부가 규칙을 따르지 않는다면 제외하고 나머지 부분을 새로운 수열로 간주하라는 것도 늘 얘기하는 부분. 특별한 설명이 없다면 출제유형도 일반항의 형식으로 n의 범위 안에서 등차임을 전제로 합니다.

  3. 2016.05.14 00:35 신고

    맨 마지막 Sn = n(n+1)/2 + 1 식에 n= 1, 2를 넣으면 a1 =2, a2 = 2 나옴.
    즉 Sn 식을 잘못구함 ㅅㄱ

    • 2016.05.14 00:39 신고

      그냥 가려다가 논란의 여지 없이 확실히하자면 여기서 Sn은 3이상의 n에서 정의되기 때문에 an을 저딴식으로 계산하면 안됨.
      덧붙이자면 고등학교 문제에서는 Sn 식이 n=1, 2, ... 다 성립하는걸로 주어지기 때문에 결국 글쓴이의 논조는 빗나감 ㅅㄱ

    • 글쓴이 2016.05.14 01:50 신고

      그래 수고했다.

나는 핸드폰을 잘 잃어버린다. 그리고 잘 떨어뜨려서 금방 고장이 나거나 핸드폰이 느려진다거나 한다. 그래서 핸드폰 2대 할부값을 내면서 몇년간 살아왔다. 지금 핸드폰도 이전 핸드폰 할부가 1년 남았을때, 분실해서 급하게 장만한 핸드폰이다. 급하게 사다보니 항상 호갱이 되곤 했다. 이 핸드폰 또한 많이 떨어뜨려서 액정에 금이 갔다. 그럼에도 이번에는 기어코 할부를 다 채우고 다음번 핸드폰은 꼭 호갱되지 않고 사야겠다고 마음을 먹었기에 할부가 끝나는 7월까지 잘 버티고 있다. 좀 더 조심해서인지 요즘에는 잘 떨어뜨리지도 않는다.


올해 2월에 졸업을 하고 졸업 기념으로 핸드폰을 살까 신도림 테크노마트에 들렀다. 생각보다 할부와 위약금이 쎄서 그냥 돌아왔다. 그러나 짧은 시간동안이었지만 핸드폰 판매원들이 보여준 기분 나쁜 태도와 그들의 판매방식에 드는 의문점들이 머리 속에 많이 남았다.


그래서 어떻게 핸드폰을 사야 잘 사는 것일까 생각해봤다.


핸드폰 판매 방식에는 때에 따라 여러가지가 있는 것 같다. 보조금도 시시때때로 변하고 통신사의 여러 정책도 변한다. 이런 변화에 맞춰서 최적의 (at least locally) 구입 기준을 세우는 일은 일년에 핸드폰 한두번 살까말까한 일반 시민들에게는 버거운 일이다. 그래서 기업의 이러한 핸드폰 판매 정책들에 의존하지 않는 나만의 합리적인 구입 기준을 만들어봤다.


핸드폰 기기 가격 = X

선택약정 지원금 = A

지원금에 따라 사용해야 하는 요금제 = B

위 요금제를 의무적으로 사용해야 하는 기간 = T

페이백 = C

현재 자신의 요금제 또는 적정 요금제 가격 = D


24개월 할부 기준 실제 소비자 부담액 = X - A + B * T - C - D * 24


적용 예)

핸드폰 기기 출고가격 X를 830,000원, 선택약정할인 A는 318,000원, 이에 따른 의무사용 요금제 B가 월 59,900원이고 페이백으로 350,000원이다. 그리고 의무사용 요금제는 24개월이라고 하자. (실제로 나에게 판매하려던 사람은 무조건 24개월간 59,900원 요금제를 써야 한다고 했다.)


현재 핸드폰을 사려는 사람의 적정요금제 D는 34,000원일때 실제 24개월간 소비자가 부담해야 할 금액은 약 76만원이다. 그러나 이 당시 판매원이 주장하는 실제 소비자 부담액은 약 16만원이었다.


여기서 약정요금제와 현재 소비자의 요금제를 왜 방정식에 넣었냐면,


만약에 34,000원 요금제를 사용하는 사람이 핸드폰 기기를 싸게 사기 위해 59,900원 요금제를 쓴다면 실제로 59,900 - 34,000 = 25,900원을 매달 추가로 지불하는 것인데, 이게 사실상 기기를 얻기 위해 사용하는 돈이므로 기기값의 일부로 보는 것이다.


그러니까 앞으로 핸드폰 판매원들이 하는 말을 다 믿지말고 실제로 자신의 소득-지출 밸런스를 고려해서 계산하는 것이 그들의 게임에 놀아나지 않는 법일 것이다.


이번 7월에는 꼭 호갱이 되지 말자!


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위상수학을 하다보면 위상한 나라의 앨리스가 된 기분이 들때가 종종 있다. 해석학을 하다보면 함수가 정의된 공간이나 수들의 공간의 특성이 곧 함수의 특정한 성질들을 결정한다는 것을 알게 되고 이것에 대한 연구가 보통 학부3학년 1학기에 배우는 일반위상수학(General topology)에서 이루어 졌다. 일반 위상수학을 하다보면 기존 유클리드 공간에서 너무나도 당연하게 성립하던 내용들에 대한 반례들을 배우게 되는데(하우스도르프 공간이나 이런거) 공부하다보면 위상수학은 철학의 '존재와 시간'같은 느낌이 든다. (연결이란 무엇인가? 이런 질문에 대한 답을 하는 것이니 비유가 적절한 것 같다)


각설하고. 여기서 다룰 내용은 일반 위상수학의 내용은 아니다. 위상수학을 두 학기동안 가르치는 학교라면 2학기때 호모토피를 가르치는데 배우다 보면 중간에 신기한 내용들이 많다. 오늘은 그 중 두개를 포스팅하겠다.



S^2 는 sphere를 말하고 R^2는 2차원 실평면을 말한다. 구에서 평면으로 가는 연속함수는 정의역인 구 위에 반드시 함수값이 같은 적어도 한쌍의 대척점(지구상 정반대 위치)들이 존재한다는 뜻이다. 증명은 여러 증명들을 단계적으로 이용해야 하고 각 증명들도 짧지 않아서 블로그에 포스팅하기는 어렵다.


이 정리의 따름 정리(Corollary)를 살펴보자



매순간마다 지구상에 반드시 특별한 두 대척점이 존재하는데 이 두 대척점에서는 온도와 바람의 속력이 같다는 뜻이다. 이게 무슨 황당한 소리인가 싶지만 증명이 된건 어쩌랴.


위 따름 정리에서는 지구 각 지점에 (온도, 바람속력)을 대응시키는 연속함수를 고려하면 Borsuk-Ulam정리를 통해 증명이 끝난다. 개인적으로는 아래 정리가 더 신기하다.




구 위에 정의된 (연속) 벡터필드는 반드시 어딘가에 0이어야 한다는 뜻이다. 즉, 그곳에서는 영벡터라는 것이다. 이게 무슨 뜻이냐면


매순간, 지구 상에는 반드시 바람이 불지 않는 곳이 적어도 한 곳 있다는 뜻이다.


직관적으로 설명하자면 바람이 계속 분다면, 어딘가에서는 바람들을 내보내(Source)야 하고, 어딘가에서는 이 바람들이 들어와(Sink)야 한다는 것이다. 언뜻 생각하면 바람들이 사라지지 않고 계속 돌아다닐 수 있을 것 같지만, 그런 직관이 불가능하다는 것을 위 정리를 통해 알 수 있다.


언뜻보면 말도 안되는 것같은 이런 정리들을 그냥 '그런가보다'하고 받아들여야 할까 아니면 이것들이 제시해주는 수학적인 통찰이 있을까? 나는 이런 것을 보면, 다시 한번 함수의 성질은 정의역의 특성에 의존하는 정도가 매우 크다고 느낀다. 그래서 더더욱 함수 자체보다는 함수가 정의된 공간이 open인지 connected인지 이런 추상적인 개념을 위상수학에서 가르치는 것이 아닐까?


보너스로 정말 관찰하고 싶은 사람은 지구 바람 지도를 통해 살펴보자.


http://earth.nullschool.net/#current/wind/surface/level/orthographic=-227.66,32.91,701




위상수학에는 이런 난해한 내용이 꽤 있지만, 사실 너무 당연해서 어이가 없는 정리도 있다.

대표적인 예가 조르당 곡선 정리인데, 평면위의 임의의 폐곡선은 항상 평면을 곡선의 내부와 외부로 분할한다는 내용이다. 당연한 내용이 늘 그렇듯 증명의 난이도는 하늘로 솟구친다. 뭐.. 절대 못 알아들을 정도는 아닌데 증명도 길고 그전에 알아야 할 내용들도 적지 않다.


예전에 지역아동센터에서 교육봉사할때 여름방학마다 후배들을 모아서 아이들에게 수학놀이를 시키겠다고 이것저것 찾아서 교보재를 만들었었는데, 조르당 곡선 정리의 응용으로 아이들에게 복잡한 폐곡선을 주고 내부와 외부를 찾으라고 시키기도 했다. 근데 애들이 너무 잘 찾아서 재미가 없었다.

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  1. Abelian 2016.04.02 19:59 신고

  2. 물리성애자 2016.04.10 23:28 신고

    대부분의 고급학문으로 도출된 증명이나 수식으로 뽑아낸 결과물을 놓고보면 의외로 가장 단순하게 보는게 정답일때가 많죠. 진짜 개념자체가 양자역학처럼 이중성을 띠는게 아닌이상 가장 순수하게 보는 눈이 정답을 찾아낼때가 많은것같습니다..

  3. baumgarten 2016.04.15 01:19 신고

    저는 하이데거 보다는 칸트를 추천합니다. 순이비가 최고



출처 : http://www.dianajuncher.dk/zg/?p=18


N체 문제는 뉴턴역학이 한창 발전하면서 제기된 질문이다. 질량이 있는 물체들이 서로 끌어당긴다면, 태양계에 있는 행성들이 충돌하지 말란 법이 있는가?


그래서 사람들은 천체의 안정성에 의문을 던지기 시작했고 이 의문을 가장 간단하게 수학적으로 표현한 것이 3체 문제다. 쉽게 말해 태양, 지구, 달이 서로를 끌어 당기며 돌고 있다면 언젠가 적어도 둘 중 하나가 충돌(collision)하거나 적어도 한 천체가 다른 곳으로 멀리 날아가(blow up)버리지 않을까에 대한 문제다.



마지막에 튕겨나가는 소행성.. 미분방정식을 풀었을때 발산하는 해를 갖게 된다.



읽어볼만한 글(물론 전 읽지 않았습니다)

The Solution of N-Body problem by F.Diacu.pdf


이 문제에 대해 스웨덴 국왕이 현상금을 걸었고 내로라하는 수학자들이 달려들었지만 모두 실패. 오직 푸앵카레만 절반의 성공을 한다. 비록 완전히 풀지는 못했지만 이때 푸앵카레가 사용한 방법은 기존에 없던 방법의 풀이였고, 그전까지의 연립미분방정식의 해 자체를 구하려 하던 방식에서 벗어나 해들의 관계를 연구하는 질적연구가 시작됐다. (수학과에서는 보통 2학년 미분방정식 시간에 배울 수 있다.) N체 문제를 해결하기 위해 도전한 수많은 수학자들이 비록 풀지는 못하더라도 의미있는 결과들을 얻어내어 필즈상을 받았다. 그중에는 유명한 스티븐 스메일교수도 있다.


그러나 N체 문제는 수많은 천재들을 좌절시켰다. 그러다가 내가 존경하는 수학자 Kolmogorov가 KAM이론으로 추상적으로 증명했다. 아주 작은 섭동에 의해서 깨지는 궤도들을 모은 집합의 measure는 0이다라고 증명함. 물론 해석학이 늘 그렇듯 섭동이 얼마나 작아야 하는지는 모른다. 다만 작은 소행성이 지구 옆을 지나간다고 해서 지구가 원래 궤도를 크게 벗어날 일은 거의 없다.


대중에 널리 알려진 카오스현상이 바로 3체문제에서 나온다. 2체문제에서는 카오스가 나오지 않지만 간단한 비선형 연립 3변수 미분방정식인 Lorenz 방정식에서 strange attractor가 발생한다.



Strange attractor

출처 : https://www.skepticalscience.com/print.php?r=134



언젠가 이 주제에 대해 재밌는 글을 써보고 싶다. 사실 2체 문제를 응용해서 학과 학술제에서 발표한 내용으로 대상을 받았는데 꼭 한번 여기에 올려야겠다.


p.s. 쓰다보니 유머글이 아니게 되었군

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  1. Baumgarten 2016.04.16 05:37 신고

    우와 학술제 대상 (≥∀≤)

일때문에 확률과 통계를 공부할 일이 많아서 한동안 고생했다. 내가 나온 학교는 확률이랑 통계를 거의 가르치지 않았기 때문이다. 게다가 본인은 통계를 너무너무 싫어해서 내 남은 삶에서 통계와는 관계를 맺고 싶지 않았다. 그나마 다행인건 현재 하는 일에서 요구하는 통계 지식은 그렇게 버겁지 않은 내용들이다.


이번에 소개할 내용은 베이즈 정리에 따른 베이지안 추론인데.. 서두에 밝혔다시피 나는 이러한 주제에 대해 뭔가 쌈빡한 글을 쓸 입장이 아니다. 그런데 이번에 공부하면서 좋은 글을 읽고 베이즈적인 사고방식을 이해할 수 있었다.


단지 그 글이 좋아서 포스팅하는 것은 아니고, 베이지안들의 마음을 이해하게 되면서 통계에 대한 증오가 조금은 사라졌달까? (물론 베이지안들은 소수자이지만)


원문 : 링크


두고두고 시간나면 읽기 위해 번역을 좀 해봤다. 그래서 공유하고자 한다.


번역본 :

Bayesian Reasoning for Intelligent People 번역본.docx


참고로.. 영어 실력 부족으로 중간에 유명한 사람의 인용문은 번역하지 못했다.

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  1. ghghgh 2016.04.14 20:27 신고

    감사합니다. 유용하게 쓰겠습니다.

  2. Baumgarten 2016.04.16 05:17 신고

    11번 식에서 P(AB|친구)를 구하는 데에서 P(AB|친구아님) 이 들어가니 약간 혼란... 같이 움직임이 무슨 뜻이에요? 만나고 나서를 의미하나요?
    (여담; 데이비드 흄보다는 칸트!)

  3. ubuntu 2016.04.25 09:43 신고

    감사합니다. 재미있게 잘 읽었습니다.

회사에서 기초수학 세미나를 할 일이 있어서 열심히 대충 만든 파일입니다. 응용분야에서 많이 사용하는 선형대수 알고리즘인 PCA(주성분분석)을 이해하기 위해 필요한 내용들을 정말 간단하게 요약한 것으로, 이미 선형대수를 한번은 수강하셨던 분들에게 추천합니다.


수많은 교재들이 있지만 이 글의 장점은 행렬을 바라보는 관점을 먼저 제시하고, 목적에 따라서 주어진 행렬을 이해해야 한다고 강조하는 점입니다. 이 부분은 어떤 교재에도 없다고 생각합니다.


제가 선형대수를 공부하면서 항상 마음 속 깊이 혼란스러웠던 것이 결국에 주어진 상황에서 행렬을 과연 무엇으로 보고 있는가?에 대한 이해가 부족했던 것이어서 이 부분을 강조했습니다.


A Short Cut to Understanding PCA.pdf


부족한 점이나 잘못된 점 지적 환영합니다.(단, 부드럽게)


참, 그림같은거 넣어야 하는데 안 넣어서.. 죄송합니다. 수정을.. 해야하는데..

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  1. LSH Project 2016.03.12 10:18 신고

    감사합니다. 잘 읽겠습니다 :)

  2. unclezeze 2016.03.23 15:08 신고

    ^^:; 다운 받으려고 하는데 새로고침 페이지가 뜨네요..

  3. magiclight 2016.04.02 19:19 신고

    열심히 대충 ㅋㅋ...
    내용은 무난하네요.

  4. Baumgarten 2016.04.15 13:35 신고

    1)토폴로지 basis랑은 벡터에서 뭐가 달라요?
    2)spanning set은 항상 존재하나요 유일하나요?
    3)eigen이 독일어 '고유'인데 그거랑 관련있나요
    4)그람 슈미트가 뭐에요.
    5) eigenvector나오는 데 부터..ㅠㅠ
    6) 여기 여기에 그림이
    7) 9쪽에 different than 을
    8) 정의11 왜 동치에요?

    • 1)
      선대의 basis는 공간 속 임의의 '원소'를 unique하게 표현하게 해주는 도구이고

      위상수학의 basis는 공간을 구성하는 open set을 표현하게 해주는(may not be uniquely) 도구입니다.

      임의의 open set이라 하면 다루기 어려우나, 잘 정의된 오픈셋 클래스들을 이용해 표현할 수 있다면, 좀 더 위상을 이해하기 쉬워지겠죠

      2)
      벡터 공간에 basis는 항상 존재한다고 증명되어 있습니다. axiom of choice 이용해서요.

      3)
      고유값이라고 불리니까 eigen을 쓴거구요 주어진 linear transformation이 벡터 공간을 mapping하는 과정에서 변하지 않고 보존하는 고유의 부분공간이 있는데 그 부분 공간의 basis를 아이겐벡터라고 합니다.

      4)
      그람-슈미트는 일반적인 basis를 orthonormal basis로 바꿔주는 방법입니다.

      5)
      ??

      6)
      이게 회사 내에서 수학 비전공자들에게 리뷰해주기 위해 만든거라서 그림같은건 직접 화이트보드에 그렸기 때문에 이 pdf파일은 많이 부족합니다. 실제 강의를 위한 보조자료일뿐입니다. 그리고 딱히 더 보강할 계획은 없습니다. pdf파일 만드는게 워낙 힘든 일이라서요.

      7)
      ??

      8)
      정의11이 무엇과 동치인지 물어보시는지 모르겠습니다.

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