:: 이 글은 필자가 과외학생에게 주기 위해 작성한 글입니다 ::





절대값


Absolute Value


 




1. 두 가지 정의




첫 번째 정의를 학생들에게 가르치다보면 처음에는 다들 쉽다고 생각하지만 학생들 특유의 오만함으로 항상 쉽게 넘겨 짚다보니 절대값 기호 안에 있는 문자가 조금만 복잡하면 안 배운 걸 풀고 있다고 생각하곤 한다. 이런 문제는 적절한 수학 공부를 통해 추상적인 사고의 기초적인 단계에 조차 오르지 못한 잘못된 학습방법에 기인한 것이다. 예를 들어 다음 문제를 풀어보자. 일단 학생 스스로 풀어보도록 하자.


예제 1. 를 만족하는 모든 실수해들을 구하라.



풀어보았는가? 위 문제를 못 푸는 경우 중 많은 경우가 절대값 기호 안에 있는 식이 맨 위에서 배운 식보다 복잡해서 손을 아예 못 대는 경우다. 사실 그렇게 복잡한 식이 결코 아니지만 대부분의 학생들은 조금만 배운 것과 다르면 아예 다르다고 생각하는 이상한 행동을 하는데 이런 부분을 빨리 고쳐야 수학 실력이 상승한다. 절대값의 1번 정의에 나오는 a는 임의의 수 또는 식을 대표하는 문자라는 사실을 잊지 말아야 한다. 그리고 결코 적지 않은 수의 학생들에게 다음과 같은 질문을 하는 경우


질문1. 실수 는 양수인가 음수인가?


많은 학생들이 양수라고 답하는데 그 이유는 a앞에 - 부호가 없기 때문이다. 사실 정말 어처구니가 없는 답변인데, 중학교 1학년 때 ‘문자와 식’ 단원에서 문자를 통해 수 또는 식을 일반적으로 나타내는 법을 배우기 때문에 a라는 문자가 별다른 언급이 없다면 임의의 수를 나타낼 수 있으므로 양수인지 음수인지 지금은 알 수 없다. 이제 몇가지 간단한 예제를 보자.



절대값을 만나면 항상 먼저 생각해야 하는 것이 있다.


절대값 기호 안에 있는 대상이 양수인가 음수인가?


이렇게 생각해야만 하는 이유는 절대값 정의가 저 질문을 묻기 때문이다. 수학은 생각하는 방법이 정해진 경우가 많다. 제 멋대로 풀지 말고 배운 그대로 풀도록 하자.

아무튼 절대값 기호 안에 있는 수 2는 양수이므로 절대값 기호를 제거할 때, 그대로 나오면 된다. 따라서



그렇다면



이번에는 답이 무엇일까? 스스로 풀어보고 이 글을 읽도록 하라. 풀어보았는가? 말했듯이 가장 먼저 해야할 생각은 절대값 기호 안에 있는 대상이 양수인지 음수인지 알아야 한다. 음수라면 절대값 기호를 없앨 때, 그대로 나오는 것이 아니라 - 부호가 붙어서, 즉, (-1)을 곱해서 나와야 한다. -3은 음수이므로



아까 배운 정의에서는 - 부호가 없었는데? 라고 생각하는 바보들이 은근히 많다. 쉽다고 생각해서 바로 답을 3이라고 쓰지 말기 바란다. 특히나 서술형을 준비하는 학생이라면 문제를 푸는 모든 과정을 순서대로, 논리적으로 써내려가는 연습을 해야만 한다. 마치 위에서 내가 -(-3)이라고 중간에 쓴 것처럼.



수학에서 ‘정의’는 ‘약속’이다. 정의에 토를 달아선 안 된다. 필자는 학생 시절에 다음과 같은 것들에서 혼란을 겪었다.



제곱하고 루트를 씌우나 루트를 씌우고 제곱하나 결국 같은 것 아닌가? 아니다! 절대 아니다.



약속이다. 토를 달면 안 된다. 위에 것 보고 결국 같지 않느냐고 항변하고 싶겠지만 가 음수인 경우 둘은 다르다.



외워라. 토달지 말고. 그렇다면 질문 하나 하겠다. 밑에 나온 식이 옳은지 옳지 않은지 판별하고 그 이유를 설명하라.





2. 기하학적 의미


  절대값 는 수직선에서 숫자 와 원점(Origin) 사이의 거리를 나타낸다. 절대값 자체가 원래 거리를 나타내기 위해 도입된 것으로 보는 시각이 옳다. 다음 그림을 참조하자.



원점 기준으로 왼쪽으로 2m 떨어진 사람과 오른쪽으로 2m 떨어진 사람이 각각 자신과 원점 사이의 거리를 말할 때 2m라고 하고 한 사람은 -2m라고 하지 않는 이유가 절대값의 개념인 것이다. 따라서



은 5와 3사이의 거리로 해석할 수 있음을 명심해야 한다. 그렇다면



은?



은 얼마일까?




3. 절대값이 어려운 이유


  절대값이 어려운 이유는 절대값의 성질에 기인한다. 절대값은 다른 수와 쉽게 더하거나 빼지 못한다. 예를 들면



기본적인 사칙연산 중 덧셈과 뺄셈을 바로 할 수 없어서 다루기 까다롭다.

따라서 절대값이 들어간 식은 반드시 절대값 기호를 해제시켜야 한다.


해제시킨다는 표현을 썼지만 1번 항목에서 알아본 것 방법대로 절대값 기호를 풀어내면 된다. 밑에서 기본적으로 알아야 하는 절대값의 성질들을 보자. 몇가지는 적지 않았음.



다행히도 사칙연산 중에서 곱하기는 자연스럽게 할 수 있다. (4)와 (5)는 고교 수학에서 기본적인 상식이지만 몰상식한 고등학생들이 넘친다.




4. 절대값 문제를 푸는 두 가지 방법


  절대값을 활용한 문제는 얼마든지 많지만 어떤 문제든지 일단 절대값을 풀어야 다음 단계로 진행을 할 수 있다. 따라서 어느 단원에서든 절대값을 보면 일단 해제시킬 생각부터 해야하는데 그 방법에는 무조건 두 가지 밖에 없다. 두 개 밖에 없는데 못 풀면 정말 노력을 안해서 앞으로 답이 없다는 증거니까 무조건 공부를 열심히 해서 항상 풀 수 있도록 하자.  한 가지 방법은 이미 첫 번째 절에서 말한대로 절대값 기호 안에 있는 대상이 양수인지 음수인지 알아보는 방법인데 이것을 나는 ‘범위 나누기’라고 한다. 범위 나누기는 다음과 같이 사용한다.


예제 2. 다음을 풀어라



일단 혼자 풀어보고 계속 읽어라. 풀어보았는가? 일단 절대값부터 풀자. 다음과 같이 생각해야 한다.


1)  에서 이 양수인가 음수인가?

2)  이라고 했으니까 은 ○○다.

3) 따라서 ?


비슷한 방법으로 |a-1|도 알아내어 풀어보자.


예제 3.



감으로 한 번에 풀 수 있어도 무조건 펜으로 써서 푸는 연습해라. 그렇지 않으면 서술형은 희망이 없다. 두 가지 방법이 있다고 했으나 범위 나누기가 아닌 ‘제곱법’으로 풀어보자. 3번 절에서 언급한 절대값의 5번째 성질을 활용한 방법이다.



이므로 답은 30이다. 제곱하면 절대값이 사라진다는 사실을 사용한 것이다.




5. 언제 어떤 방법을 사용할 것인가?


  이것은 많은 문제를 풀어보며 스스로 알아차리는 것이 가장 좋지만 일단 설명해본다. ‘범위 나누기’는 문제를 최소 2가지 경우로 나누어서 푸는 방법이라서 어떻게 보면 한 문제를 두 문제로 범위별로 나누어서 푸는 것이라 시간이 ‘제곱법’에 비해서 더 걸린다. 그러나 ‘제곱법’은 한 번에 풀 수 있는데, 그렇다면 무조건 ‘제곱법’이 만능인가? 그렇지 않다. 제곱법은 말 그대로 제곱을 하는 방법을 사용하므로 식 속에 있는 수가 커지거나 식 자체가 더 복잡해질 수 있어서 매우 복잡한 식에는 오히려 사용하기 부담스러울 수 있다. 그리고 ‘제곱법’을 사용해서 나오는 답 중에는 무연근이 나올 확률이 많다. 따라서 풀고 답을 썼는데 오답일 수 있는 것이다. 그렇다면 무조건 ‘범위 나누기’를 하란 것인가? 그렇지 않다. 두 가지 방법을 다 완벽하게 사용할 수 있어야 한다. 어떤 문제는 ‘범위 나누기’가, 또 다른 문제는 ‘제곱법’이 유용하기 때문이다. 이 부분에 대해 자세한 설명은 실제 문제 풀이와 곁들이도록 하겠다.

  1. 강민성 2014.02.14 04:04 신고

    글 써주신건 고마운데 글 중간중간의 학생들을 비웃는 표현들 정말 보기 거슬리네요 별로 웃기지도 않고요

    • 담부터는 수위 조절하겠습니다만 고마우면 고마운 마음 제대로 표현하세요 어정쩡하게 뭐라하시는건지 모르겠네요 의도를

      p.s : 요즘 안 좋은 일이 많았어서 더 글이 자극적이었나봅니다. 수정하겠습니다.

  2. 오징오징 2014.02.27 09:27 신고

    윗 놈은 봤으면 고맙다고하지, 찔리나...
    잘 배워 갑니다.

  3. ㅎㅎ 2014.03.01 14:13 신고

    절대값 항상 헷갈렸는데 정리가 되는거 같아요!

  4. (:V) 2015.03.25 23:24 신고

    잘보고갑니다 오랜만에 공부하려니 모르는거 투성이였는데 잘 이해됐네요 :-)

  5. 안타까움 2015.05.18 23:03 신고

    글쓴이의 인성이 보이는군요. 어줍잖은 실력으로 '바보바보'를 남발하는 바보는 되지 마시길.

  6. 안타까움2 2015.09.10 17:13 신고

    글쓴이의 인성이 보이는군요. 어줍잖은 실력으로 '바보바보'를 남발하는 바보는 되지 마시길.

  7. 2016.01.30 04:47 신고

  8. ㅇㅈ 2018.01.03 23:55 신고

    꼬우면 읽지를 마라 바보바보가 꼬우면 읽지를 마라

  9. . 2018.03.15 14:32 신고

    루트 -3이라는 수가 정의상 존재가능한가요?
    본문에서 루트-3 곱하기 루트 -3 은 -3이라고 외우라던데 제가 오랜만에 봐서 헷갈리네요.

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