:: Notice ::


이 글에 나와있는 내용은 필자가 스스로 알아낸 것이 아님을 밝혀둔다.

참고자료를 열심히 활용했으며 참고자료에서 자세한 계산을 하지 않은 부분을 필자가 보충했다.

참고자료들은 중간중간에 출처를 밝혔으며 맨 마지막 References에 정리해두었다.




  자, 지난 시간에 이어 이번에는 Curl의 정의가 나타내는 의미를 알아보고 과연 Curl이라는 이름을 부여받을 자격이 있는지 생각해보자. 우선 위키피디아에서 컬을 검색해보면 다음과 같은 컬의 다른 정의를 볼 수 있다. 뭔가 original 정의같아 보인다.



 

 


출처 : http://en.wikipedia.org/wiki/Curl_(mathematics)


단위면적당 회전하는 양의 극한이라고 알 수 있다. 물론 이것은 컬의 정의는 아니고 컬에 곡면의 법선벡터(Normal vector)를 내적한 양이다. 즉, 엄밀히 윗 표에 나와있는 것은 컬이 아니다. 컬의 정의는


$\nabla\times F=\left(\frac{\partial{F_{3}}}{\partial{y}}-\frac{\partial{F_{2}}}{\partial{z}}, \frac{\partial{F_{1}}}{\partial{z}}-\frac{\partial{F_{3}}}{\partial{x}}, \frac{\partial{F_{2}}}{\partial{x}}-\frac{\partial{F_{1}}}{\partial{y}}\right)$


이것이다. 참, 아리까리하게 생겼다.


  컬을 비롯한 벡터연산자들은 전자기학이나 유체역학 등의 물리학이 발달하면서 자연스레 정의한 개념들이다. 그래서 벡터미적분학(Vector calculus)를 물리나 공학하는 사람들이 대부분 대학 1학년때 배운다. 초기에 컬을 정의하면서 물리학자들이 의도한 바는 어떤 벡터필드(vector field)가 주어졌을때, 한 점에서의 회전량을 측정하는 수학식이었다. (이것을 영어로 microscopic circulation 또는 microscopic rotation이라 한다) 따라서 컬 자체는 벡터필드가 전체적으로 봤을때 회전하는지 아닌지를 나타내는 양(quantity)가 아니다. 이에 대해서는 뒤에서 벡터필드는 전체적으로 회전하고 있는데 컬이 0인(Curl free) 경우와 반대의 경우를 살펴볼 것이다.

  Curl에 대해 자세히 설명한 Mathinsight의 글 The idea of the curl of a vector field를 인용하자면


To test for curl, imagine that you immerse a small sphere into the fluid flow, and you fix the center of the sphere at some point so that the sphere cannot follow the fluid around. Although you fix the center of the sphere, you allow the sphere to rotate in any direction around its center point. The rotation of the sphere measures the curl of the vector field F at the point in the center of the sphere(The sphere should actually be really really small, because, remember, the curl is microscopic circulation.)


이렇다고 한다. 여기서 중요한 표현이 나오는데 빨간색 줄로 표시한 부분이다. (보통 벡터필드는 유체역학과 전자기학에서 많이 사용하므로 오늘 이곳에서 물의 흐름으로 가정하고 설명하겠다.) 흐르는 물 속 한 곳에서 아주아주 작은 공을 고정시켜 놓는다(상상하는거다 실제로는 불가능하겠지만) 고정시키되 다른 곳으로 움직이지 못하도록 고정시키는 것이지 제 자리에서 회전은 가능하도록 만들어 준다. 그렇다면 물에 의해서 공이 회전을 할 수 있는데 이때 발생하는 회전에 대한 양을 측정하는 것이 바로 Curl이다. Curl은 벡터량이므로 회전 방향과 회전하려는 정도를 알 수 있다. 


그렇다면 Curl의 식이 도대체 이런 벡터량을 나타낸다는 것을 어떻게 알 수 있을까? 알아보기 위해 다시 한번 사고실험(상상으로 하는 실험)을 해보자. 다음과 같이 진행해보자.


1. 흐르는 물 속에 있는 한 곳에 아주 작은 공을 고정시켜서 다른 곳으로 움직이지 않되 제자리에서 회전은 가능하도록 둔다.


2. 이 공에 z축 방향으로 꼬챙이를 꽂아서 고정시킨다. 이제 이 공은 z축 방향으로는 회전하지 못 한다.


이렇게 z축 방향 회전이 금지된 경우에 나타내는 회전량이 식으로 어떻게 되는지 알아보자.



수학에서는 항상 반시계방향(counter-clockwise)이 정방향이다. 그래서 반시계 방향의 관점에서 생각해보자. 우선 반시계 방향으로 저 공을 돌리려면 먼저 두 가지 경우가 가능하다.


1. x방향으로 돌리는 힘을 먼저 생각하고 그 다음에 y방향으로 돌리는 경우

2. y방향으로 돌리는 힘을 먼저 생각하고 그 다음에 x방향으로 돌리는 경우


이 중에서 우리는 2번 경우를 사용하자.

 

이 공이 y축 방향으로 받는 힘은 두 곳에 있다 이 두 힘의 차이만큼이 실제로 공을 돌리려는 힘이므로 아래와 같은 식을 얻는다.


$$F_{2}(x+r,y,z)-F_{2}(x-r,y,z)$$


그런데 우리는 평균적인힘을 원하므로


$$\frac{F_{2}(x+r,y,z)-F_{2}(x-r,y,z)}{2r}$$


우리는 이것의 극한을 생각해서 r을 0+으로 보내는 극한을 취하자


$$\lim_{r\rightarrow0+}{\frac{F_{2}(x+r,y,z)-F_{2}(x-r,y,z)}{2r}}=\frac{\partial{F_{2}}}{\partial{x}}$$


그리고 이제 x방향으로 돌리는 힘은 다음과 같다.


$$-(F_{1}(x,y+r,z)-F_{1}(x,y-r,z))=F_{1}(x,y-r,z)-F_{1}(x,y+r,z)$$


y방향으로 돌리는 힘과 비교해보면 부호가 다르다. 왜냐하면 반시계방향으로 돌린다는 건 사실 x방향이 아니라 -x방향으로 돌리는 것이기 때문에 그렇다. 그리고 이제 여기에서 두 힘의 차이의 극한을 구하면(힘의 차이가 회전을 야기하므로)


$$\lim_{r\rightarrow0+}{\frac{-(F_{1}(x,y+r,z)-F_{1}(x,y-r,z))}{2r}}=-\frac{\partial{F_{1}}}{\partial{y}}$$


이 둘을 합치면


$$\frac{\partial{F_{2}}}{\partial{x}}-\frac{\partial{F_{1}}}{\partial{y}}$$


CurlF의 z방향 성분을 얻는다. x, y방향 성분들도 같은 방법으로 유도할 수 있다.



유의할 점


  앞에서 밝혔듯이 Curl은 미시적인 수준의 회전을 나타내는 양이지 거시적인 회전을 측정하는 것이 아니다. 따라서 다음과 같은 벡터필드가 전체적으로는 회전하는 모양이지만 계산해보면 Curl이 0임을 알 수 있다.



$$F(x,y,z)=\lgroup\frac{-y}{x^{2}+y^{2}},\frac{x}{x^{2}+y^{2}},0\rgroup$$


아래와 같이 생긴 것은 거시적인 회전도 없고 미시적인 회전도 없다.



그렇다면, 미시적인 회전과 거시적인 회전은 아무런 관계가 없는 것일까? 답은 아니다. 둘 사이의 관계에 대한 내용이 바로 그 유명한 Stokes' theorem이다. 스톡스 정리에 대해서는 따로 포스팅할 계획이 없지만 나중에 시간이 된다면 해보겠다. 스톡스 정리에 대해서는 워낙 잘 정리된 글들이 많으므로(그럴 것 같다고 예상함) 잘 찾아보길 바란다.


  다음 시간에는 Curl의 물리적인 의미가 아닌 좀 더 추상적인 의미를 잠깐 알아보도록 하자. 자세히는 하지 않을 예정이다. 


→ 3번째 글 취소합니다. 미분형식을 이용한 설명을 하려면 exterior derivative 등 다양한 사전 설명이 필요해서 지금은 연재하지 않겠습니다.



참고자료(References)


1. http://en.wikipedia.org/wiki/Curl_(mathematics)

2. http://mathinsight.org/curl_idea

3. http://mathinsight.org/curl_subtleties

4. http://mathinsight.org/curl_components

5. http://mathinsight.org/path_dependent_zero_curl

6. http://mathinsight.org/divergence_idea


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  1. 이전 댓글 더보기
  2. 궁디팡팡 2014.04.05 18:18 신고

    저그냥 넷상으로 지나가던사람인데요

  3. 궁디팡팡 2014.04.05 18:19 신고

    스톡스정리와 curl의 연관성
    스톡스정리와 완전미분방정식 연관성
    포스팅좀 젭라

  4. 전자 2014.04.20 20:04 신고

    컬과 다이버전스에 대해서 잘 모르고 있었어서 관련 글을 찾아 보고 있엇는데 가장 도움이 되네요 ㅎㅎ 감사합니다 앞으로도 자주 들리겠습니다

  5. 므아아 2014.05.02 08:29 신고

    수학과가 아니라 쉅시간에 교수님께서 이부분 그냥 넘어가셔서 찜찜했었는데..
    이렇게 잘 써주셔서 이해가 가네요 ㅎㅎ
    감사합니다~~!

  6. ㅁㄴㅇ미미 2014.06.15 23:50 신고

    오호 정말 이해 잘되네요 감사해요~^^

  7. dfsdf 2014.11.24 11:29 신고

    죄송한데..평균적인 힘 2r은 어디서 나오는 건가요...?

  8. dfsdf 2014.11.24 11:29 신고

    죄송한데..평균적인 힘 2r은 어디서 나오는 건가요...?

  9. dfsdf 2014.11.24 11:29 신고

    죄송한데..평균적인 힘 2r은 어디서 나오는 건가요...?

  10. dfsdf 2014.11.24 11:29 신고

    죄송한데..평균적인 힘 2r은 어디서 나오는 건가요...?

  11. ㄴㅇㄹ 2014.11.26 13:19 신고

    으악 여러개가 써졌네요 죄송합니다.

    x,y축 양 끝에 작용하는 평균적인 힘을 2r로 나눠서 얻는다고 하셨는데요, 그 assumption은 어떻게 하셨는지 여쭤볼수 있을까요..?

    f2(x+r,y,z)-f2(x-r,y,z)=f3(x_r,y_r,z_r)

    f3 을 resultant force 로 가정했을때
    2r로 나누면 디스크 resultant force가 작용하는 반대쪽 r도 포함하는 건데... 그건 -z쪽 모멘트까지 다시 포함하게 되지 않을까요..? 어짜피 극한 보내면 상관 없지만서도..

  12. ㄴㅇㄹ 2014.11.26 13:19 신고

    으악 여러개가 써졌네요 죄송합니다.

    x,y축 양 끝에 작용하는 평균적인 힘을 2r로 나눠서 얻는다고 하셨는데요, 그 assumption은 어떻게 하셨는지 여쭤볼수 있을까요..?

    f2(x+r,y,z)-f2(x-r,y,z)=f3(x_r,y_r,z_r)

    f3 을 resultant force 로 가정했을때
    2r로 나누면 디스크 resultant force가 작용하는 반대쪽 r도 포함하는 건데... 그건 -z쪽 모멘트까지 다시 포함하게 되지 않을까요..? 어짜피 극한 보내면 상관 없지만서도..

  13. 질문드립니다 2014.12.09 09:55 신고

    끝이 아닌 부분에서 받는 힘도 공을 회전하는데 영향을 주지 않나요? 중간 어디선가 받는 힘벡터를 공의 중심과 접하는 방향으로 나누면 접하는 방향의 힘이 공을 회전시키는데 영향을 주잖아요 그 부분을 2r이 담당하고 있는 건가요? 2r 에 평균적인 힘이라는 표현이 잘 이해가 가지 않습니다

  14. 질문드립니다 2014.12.09 10:16 신고

    그리고 컬의 값의 의미가 회전축과 회전가속도? 로 알고 있는데 그 값의 정확한 의미도 궁금합니다 저 증명에서 컬 벡터가 회전축 방향과 동일한지 알 수 있는지 그리고 그 크기가 회전속도인지 가속도인지 말이죠 인터넷 다른 곳 설명과 함께 비교해보니 f를 힘이 아닌 속도로 생각하여 설명하는 것도 있던데 어떤 방향이 이해하기 쉬울 지 덤으로 추가설명 부탁드립니다

  15. 탱탱 2015.02.10 16:15 신고

    구-자기장(H)혹은 신-자기장(B)을 컬연산 (CurlH) 해 주면 전류밀도 (J)가 나옵니다.[자기장은 전류와 연관]

    그 뜻은 전류가 흐르면 그 전류의 흐름에 수직방향으로 자기장이 회전하면서 생성되는 것을 먼저 관찰 후 이에 합당한 연산자(operator)를 필요하여 만든것입니다.[자연현상 관찰,발견 => 가설 설정]

    전자기학에서 자연현상을 이론화하면서 자주쓰이지만 3차원으로 풀어 사용할 때 매우 복잡한 일련의 연산을 단순화 하여 표기한 Vector연산자가 Curl과 Div입니다.

    당연 Div는 전기장에 대한 Term이 됩니다.
    전기장(E)혹은 전기밀도(D)를 다이버전스연산 (DivD)해 주면 전하밀도가 나옵니다. [전기장은 전압과 연관]

    스토크스 띠어리도 직관에 의해 가설 설정후 수식으로 증명한 케이스로 보면 되겠습니다.

    다시말해 전기장과 자기장은 상보적인 관계입니다. 전압차(전기장)를 줄이기위해 전류(자기장)가 생기는 자연이 에너지 평형상태로 가는 일련의 현상을 인간이 활용하기 위해 수식화 한것이 멕스웰 방정식이고 거기서 핵심이나 복잡하며 짜증나지만 자주쓰이니 뭔가 에러를 줄이고 시간낭비를 줄이기위해 몇몇 Vecotr특성들을 해석한 것이 수학책에 나온것입니다. 내적 외적 어쩌구 저쩌구...

  16. 김봉진 2015.04.26 23:13 신고

    잘 읽고 갑니다.
    많은 도움이 되었습니다.
    퍼가도 될까요?ㅎ
    일단 출처 밝히고 퍼갑니다!ㅎ

  17. 신디 2015.05.18 07:56 신고

    line integral, green's theorem 스트록 정리 다이버전스 다 정리 해주시면 안될까요 ㅠ_ㅠ 설명 잘하시는데 포스팅이 미적분 카테고리엔 세개밖에 없는게 아쉽네요..

  18. miguel 2015.12.09 13:32 신고

    밑에분들 2r=x+r-(x-r)인걸 모르시는건가!

  19. 자유곡선 2016.01.26 04:44 신고

    이글을 읽고나서 감명받아서 울었네요^^
    포스팅한 글이 완전 꿀입니다.

    세상의 꽃 주위를 날라다니는 나방처럼....
    꿀을 만들지 못해서...힘들었는데...

    한마리 나방이 잠시 쉬었다가 날아갑니다.

  20. 흠.. 2017.03.30 15:18 신고

    curl이 미시적인 회전을 알아내는 연산자라는 말의 의미는 알겠지만, 위에서 드신 예시 (1/(x^2+y^2))(-y,x,0) 은 다소 거리감이 있는 예시가 아닌가 합니다. 물론 이 친구는 curl이 0이지만, (-y,x,0)의 curl은 (0,0,2)입니다. 만약 거시적인 회전때문에 예시의 curl이 0이었다면 같은 이유로 (-y,x,0)의 curl이 0이어야겠죠. 드신 예시는 curl이 0이지만 conservative하지 않은 예시로, domain이 simply connected가 아니라는 부분에 더 눈길이 가는군요.
    여튼, 글 잘 봤습니다. curl을 이렇게 유도할 수 있는줄은 몰랐네요.

  21. 냐무냐무 2017.12.06 19:08 신고

    와....... 정말 이해가 잘 되네요 눈물나올정도 ;_;
    좋은 글 감사합니다!!

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