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1. 해석학의 관점에서 본 수 이야기 (4) : 실수편 - 해석학


오늘은 해석학의 모든 내용에 핵심적인 요소로 들어가는 개념인 상한(Supremum)과 하한(Infimum)을 배워보도록 하겠습니다.

일단 우리가 먼저 알고 있는(혹은 금방 알 수 있는) 개념에서부터 시작해볼까요?

예제1. 집합 $A = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 \}$의 가장 큰 원소는 무엇인가?

네, 보나마나 7입니다. $1< 2< 3< 4< 5< 6< 7$ 이기 때문이죠.

그런데 우리는 최대라는 것의 정의를 하지 않고 직관적으로 풀었네요
집합 $A$의 최대(Maximum) 원소의 정의를 살펴봅시다.

정의1. 집합 $A$의 원소가 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}$ 일때 집합 $A$의 최대원소를 $\max{A}$라 쓰고 다음과 같이 정의한다.

집합 $A$의 원소 $a_{k}$가 자신을 제외한 나머지 항들보다 작지 않을때 $a_{k}$를 집합 $A$의 최대원소라 한다.
단, $k = 1, 2, \cdots, n$


최소원소의 정의도 비슷하게 할 수 있겠죠? 중요한 점은 '가장 크다'라고 정의하지 않고 '작지 않다'고 한 것에 있습니다. 나중에 Order라는 것을 공부하다보면 두 정의의 차이가 무엇인지 알 수 있습니다.

자, 그렇다면 한가지 더 생각해봅시다. 위 예제1은 집합의 원소의 개수가 유한인 유한집합입니다. 그렇다면 집합의 원소의 개수가 무한인 무한집합에서도 최대를 찾을 수 있을까요?

집합 $B = \{ x\in\mathbb{R} | 0 \le x< 1 \}$의 최소원소는 $0$이겠네요. 그러나 최대원소는?? $0.9$? $0.9$보다는 $0.99$가 크고 $0.99$보다는 $0.999$가 더 큽니다. 아 이런 식으로 가면 끝이 없겠네요. 최대원소를 잡을 수 없다고 여기서 포기했다면 수학인이 아니겠죠. 수학자들은 대신에 다음과 같은 개념들을 만들었습니다.

정의2. 실수 $b$가 집합 $A$의 모든 원소들보다 크거나 같을때
          즉, $a\le b$ 이면 $b$를 집합 $A$의 상계(Upper bound)라 한다. 단, $a\in A$

비슷한 개념인 하계도 살펴보겠습니다.

정의3. 실수 $b$가 집합 $A$의 모든 원소들보다 작거나 같을때
          즉, $a\ge b$이면 $b$를 집합 $A$의 하계(Lower bound)라 한다.

상계가 존재하는 집합은 위로 제한되어 있다해서 위로 유계(bounded above)라 하구요
하계가 존재할때는 아래로 유계(bounded below)라 합니다. 모두 다 존재하면 유계(bounded)라 합니다.
예제를 하나 보고 가겠습니다.

예제2. 집합 $B = \{ x\in\mathbb{R} | 0 \le x< 1 \}$의 상계와 하계를 3개씩 찾아라.

너무 쉽네요. $0, -1, -2$이 하계구요 $1, 2, 3$은 상계네요.
이 집합은 위 아래로 모두 bounded되었네요. 여기서 우리가 알게된 사실은 '상계/하계는 유일하지 않다.'

자 이제 드디어 상한(Supremum)과 하한(Infimum)이 나옵니다.

정의4. 집합 $A$의 상계들의 집합을 $U$라 하면 $U$의 최소원소를 집합 $A$의 상한이라 하고 $\sup{A}$라 쓴다.

정의5. 집합 $A$의 하계들의 집합을 $L$이라 하면 $L$의 최대원소를 집합 $A$의 하한이라 하고 $\inf{A}$라 쓴다.

상계와 하계는 매우 많이 있을 수 있잖아요? 상한은 상계 중에 가장 작은 것, 하한은 하계 중에 가장 큰 입니다. 상한은 영어로 Least Upper Bound라고 하고 하한은 Greatest Lower Bound라고 합니다. 자 우리가 앞에서 궁금해했던 무한집합의 최대원소를 못 구하면 어쩌나 했잖아요? 최대원소나 최소원소는 없을지라도 모든 집합에는 (유한 무한 모두) Sup와 Inf가 존재합니다.

예제3. 예제2에 나온 집합 $B$의 상한과 하한을 찾아라

상계 중에 가장 작은 건.. 직관적으로 $1$이고 하계 중에 가장 큰 것은 0이네요.
그런데 실제로 이것이 상한/하한임을 엄밀하게 증명하는 것은 생각보다 어렵습니다. 이 부분은 여기서 다루진 않을게요.


여러분, 최대원소와 최소원소는 존재한다면 반드시 그 집합의 원소겠지만 상한과 하한은 아닐 수도 있다는 사실을 명심하세요. 위 예제3에서 보듯이 하한은 집합에 포함되지만 상한은 포함이 안되죠.

참, 상한과 하한은 유일(unique)합니다. 당연해서 이미 눈치채셨겠지만 증명 한 번 해보겠습니다.

증명) 적당한 집합 $A$에 대해서 두 상한 $u$, $v$가 있다고 합시다. 그러면 $a\in A$에 대해서 $a\le u$가 성립하고 $u$는 상한이지만 동시에 상계이므로 $v$입장에서는 $a\le v\le u$가 성립합니다. $u$와 $v$의 입장을 바꾸면 $a\le u\le v$이므로 $v\le u$ 그리고 $u\le v$이므로 $u=v$이다.

유일성을 증명했으니 상한과 하한에게 상으로 정관사를 수여해줄 수 있습니다. 이제는 the least upper bound나 the supremum같은 표현을 쓸 수 있겠네요 ^^

예전에 실수와 유리수에 관한 포스팅을 하면서 유리수의 조밀성은 증명가능하지만 실수의 완비성은 공리로 받아들인다고 했었던 거 기억나시죠? 오늘 그 공리를 다시 한번 살펴보겠습니다.

실수의 완비성공리Completeness Axiom.

Bounded인 공집합이 아닌 실수 집합 S는 반드시 상한이 존재한다.

별 것 없네요? 내용 자체는 별 것 없어보이지만 해석학 전반에서 이 공리에 의존해서 논리를 전개해 나가는 일이 많습니다. ^^
숙제를 하나 내드리겠습니다. 실수의 완비성공리가 어째서 실수선은 구멍이 없다는 사실을 나타내는지 생각해보시기 바랍니다.

수학 참 재밌죠?



이 포스트를 작성하는데 도움이 된 자료들

1. 내 기억


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  1. 즐거운하루 2014.04.13 19:47 신고

    정의 5번에 집합A의 상한이라고한다->하한이라고한다. 오타났습니다.
    이번자료도 잘봣습니다~!

  2. 2014.05.20 16:49 신고

    와 좋은 포스팅 감사합니다. 궁금한 게 있어서요.. 상한과 하한은 늘 집합 형태로 나타나는 건가요? 예제에서라면 상한은 {1}, 하한은 {0} 이런 식으로? 집합론을 독학하던 중에 이해가 안 돼서 검색한 거거든요.. 집합의 상극한, 하극한과는 다른 개념이죠?ㅠㅠ

    • 혹시라도 제가 모호하게 표현한 부분이 있다면 사과드립니다.

      상한은 여러 상계들 중에서 가장 작은 '원소'입니다.

      하한은 여러 하계들 중에서 가장 큰 '원소'입니다.

      그래서 상한을 Least Upper Bound, 하한은 Greatest Lower Bound 라고 합니다.

  3. 앗삼 2014.08.28 03:36 신고

    전공자는 아니지만 숙제에 답변 해봅니다. 유리수의 경우에는 조밀성이라 하는데 예를들어 루트 3을 기준으로 그 보다 큰 유리 수를 가지는 집합이 있다고 가정하면 집합이나 상한, 하한은 유리수가 되지만 기준인 루트3은 어디에도 포함되지 못합니다. 동일한 방법을 실수에 적용하기 위해 허수를 사용하려 해도 허수는 대소관계가 정리되지 않음으로 허수를 기준으로 쓸 수 없기 때문에 기준은 항상 실수가 되게 됩니다. 따라서 빈공간(구멍)이 없게 됩니다.

    • 와... 대단하시네요 그냥 댓글달기도 귀찮으셨을텐데 답까지.. 멋지십니다

    • 앗삼 2014.09.26 19:26 신고

      감사합니다, 포스팅을 보고 수학에 대해 좀 더 관심을 가지게 되었네요, 그런데 제가 적은게 그냥 추측이라 정답인지는 모르겠네요

  4. 효경 2014.10.02 07:16 신고

    지금 해석학 숙제중인데 잘보고 갑니다 ^^ 고맙습니다

  5. 2014.10.29 09:32 신고

    감사

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