2017년 2월 1일 현재, 아주 오래 전에 쓴 이 글을 보니 너무 내용이 엉망이라 심히 민망하여 더 보강해서 써야겠습니다.

이 포스트의 원활한 이해를 위해 먼저 읽기를 권장하는 포스트

1. 해석학 관점에서 본 수 이야기 (3) : 유리수편 - 미적분|해석학



사람들이 실수라는 개념에 대해 마음 속에 가진 생각은 유리수+무리수=실수 이 정도입니다. 무리수가 실제로 존재하는지는 보통 피타고라스의 정리로 루트2를 찾아냈다는 설명을 통해 확인합니다만 실수는 이렇게 두리뭉실하게 넘어가기엔 정말 재밌는 내용들이 많습니다. 일단은

$\sqrt{2}$나 $\sqrt[3]{4}$와 같은 유리수의 거듭제곱근이 무리수의 전부인가?

와 같은 질문에서부터 턱.하고 막혀버립니다. 사실은 우리가 아는 무리수 중에는 거듭제곱근과는 좀 결이 다른 $\pi$나 $e$와 같은 수들이 있죠. 이것만 봐도 거듭제곱근만 가지고는 무리수를 다 알 수가 없네요.

인간이 보이는 그대로 파악할 수 있는 수는 유리수가 유일하다.

따라서, $\sqrt{2}$와 같은 비교적 단순한 무리수조차 사실 얼마인지 정확한 값을 파악하기 불가능하죠. 파악하기 어려우니 무리수란 이것이다! 이렇게 직접적인 정의를 할 수가 없어서 간접적으로 정의합니다. 바로 다음과 같이요.

무리수란 유리수가 아닌 수 또는 순환하지 않는 무한소수

여기서 복소수는 그럼 무리수인가요? 이런 질문을 할 수 있지만, 우리는 지금 복소수의 존재를 모른다고 가정합시다. 참, 슬프죠. 자연수는 페아노 공리를 통해 직접적으로 정의했고 정수와 유리수는 자연수라는 작은 블럭으로 만들어냈는데, 무리수는 어찌할 도리가 없어서 저렇게 간접적으로 말할 수 밖에 없다는 것 말이죠.

잠시 쉬어가기 위해 $\sqrt{2}$가 유리수가 아님을 증명해보죠.

증명

유리수를 이용해서 무리수를 얻어내는데 실패해서, 사람들이 무리수를 포함한 실수는 약속(공리)를 통해 이해할 수 밖에 없다는 걸 알았습니다. 그래서 우리는 그 유명한 완비성공리(Axiom of Completeness)를 만들죠. 그런데 아쉽게도 완비성 공리를 이해하기 위해서는 몇가지 용어를 알아야 합니다.

상계(Upper bound) / 하계(Lower bound)
실수의 공집합 아닌 부분 집합 $A$의 모든 원소 $x$에 대하여 $x\le u$라 하면 $u$를 $A$의 상계라 한다.
이때 집합 $A$를 위로 유계(bounded above)라 한다.
실수의 공집합 아닌 부분 집합 $A$의 모든 원소 $x$에 대하여 $x\ge v$라 하면 $v$를 $A$의 하계라 한다.
이때 집합 $A$를 아래로 유계(bounded below)라 한다.
위/아래 모두 유계인 경우 유계(bounded)라 한다.

상한(Supremum) 또는 최소상계(The least upper bound) / 하한(Infimum) 또는 최대하계(The greatest lower bound)
위로 유계인 집합 $A$의 upper bound 중 가장 작은 것을 상한 또는 최소상계라 한다.
아래로 유계인 집합 $A$의 lower bound 중 가장 큰 것을 하한 또는 최대하계라 한다.

이렇게 용어를 정의하고 드디어 힘겹게 완비성공리를 제시한다.휴

완비성공리(Completeness axiom)
공집합 아닌 실수집합의 부분집합 $A$가 위로 유계(upper bounded)일 때, 집합 $A$는 항상 상한으로서 실수 $u$를 갖는다.
이를 다음과 같이 쓴다. $u=\sup{A}$

이것만 보면 이게 어떻게 유리수를 넘어서 무리수들을 찾아내는 도구가 되는지 감이 잘 오지 않는다. 제대로 설명하려면 몇가지 예시를 들어야 하지만 이번 포스팅은 개략적인 내용을 서술하는 것이니까 넘어가도록 하자. 단, 완비성공리는 다음을 의미한다는 것만 알면 충분하다.

해석학에서는 무리수를 유리수의 극한으로 본다. 완비성공리는 이를 위한 토대.


※ 위에 서술한 해석학에서 다루는 개념들에 대해 몇가지 설명할 수 있는 것들이 있지만 이는 따로 포스팅하기로 한다.

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