이 포스트의 원활한 이해를 위해 먼저 읽기를 권장하는 포스트

1. 해석학 관점에서 본 수 이야기 (2) : 정수편 - 미적분|해석학



수학에서 두 정수의 비율로 표현되는 수를 유리수라고 합니다.
$r$이 유리수라면 $r$은 어떤 정수 $a$와 $b$의 비율인 $\frac{a}{b}$로 표현되지요. $b$는 분모인데 결코 $0$이 되어선 안됩니다. $0$으로 나눈다는 행위가 딱 정해져있지 않아서 분모가 $0$인 모든 경우는 수학에서 조심히 다뤄야 합니다. 유리수는 소수로 표현하면 순환하는 부분을 가지거나 유한소수가 됩니다. 무슨 소리냐면 $1$이 $7$로 딱 나누어 떨어져지는 않지만 소수로 나타내면 $0.142857142857\cdots$ 이렇게 반복됩니다. $142857$이 반복되므로 비록 무한히 뒤로 나가지만 우리는 예측할 수 있고 쉽게 다룰 수 있는 것이죠. 반면 $1$을 $4$로 나누면 딱 떨어지지는 않지만 $0.25$로 깔끔하게 나오지요. 유리수는 순환하는 무한소수 또는 유한소수입니다.


분모 $b$가 $1$인 경우 $r$은 $a$가 됩니다. $a$는 정수였죠? 이로써 정수가 유리수에 포된다는 사실을 알 수 있겠네요.


유리수에 관해 이야기할 수 있는 것이 많지만 어려운 설명이 들어가야 하므로 이곳에서 다루지는 않아요.
하지만 아직 다룰 것이 하나 남았습니다. 유리수의 조밀성(Denseness)라는 것입니다. 조밀성이란 말 그대로 조밀조밀하다는 것인데 좀 더 자세히 말하면

임의의 두 유리수 $a$와 $b$ 사이에는 반드시 다른 유리수가 존재한다.


입니다. 직관적으로 $1/2$과 $1/4$을 잡아봅시다 이 둘 사이에 많이 있겠지만 일단 1/3이 존재하는군요? 정수와는 달리 유리수는 매우 많아 보입니다. 임의의 두 정수 사이에는 반드시 다른 정수가 존재하지 않을 수 있기 때문에($2$와 $3$ 사이에는 정수가 없습니다) 유리수는 지금껏 알아본 수들과는 차원이 다르게 보입니다.


조밀성은 정리일까요? 공리일까요? 임의의 두 유리수 $a$, $b$ 사이에 다른 유리수가 존재한다는 것은 직관적으로 명백한데 증명할 수 있을까요? 네, 할 수 있습니다. 귀류법으로 증명할 수 있습니다.



혹시 $(a+b)/2$가 왜 $a$보다 크고 $b$보다 작은지 궁금하다면 증명을 올려드립니다. 궁금한 분만 보세요

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아 참고로 유리수를 모아둔 집합을 다음과 같이 표현합니다.


이제 유리수정도 되면, 많은 계산을 자유롭게 할 수 있습니다. 그럼에도 불구하고 제곱해서 $2$가되는 수는 유리수로 나타낼 수 없어서 유리수로는 미적분학이나 해석학을 전개하기에는 많은 어려움이 따릅니다.



이 포스트를 작성하는데 도움이 된 자료들

위키피디아:유리수
그 외;


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  1. 2014.11.17 19:22

    비밀댓글입니다

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