이 포스트의 원활한 이해를 위해 먼저 읽기를 권장하는 포스트

1. 정의, 공리, 공준, 정리, 무정의용어 - 논리|집합
2. 집합 이야기 (1) - 집합론




자연수는 우리가 매우 친근하게 여기는 수입니다. 0이 자연수인가 아닌가는 개인의 기호차이에 따라 받아들이는 것을 달리하는 것 같습니다. 어떤 책은 1부터 자연수라고 여기지만 위키피디아를 보니 0, 1 두가지에 관해서 개인 기호에 따라 다르게 받아들인다고 말하고 있습니다. 그렇다면 우리는 1을 자연수의 시작으로 생각합시다.

자연수는 1, 2, 3, 4, …, n 이렇게 나아가죠. 직관적으로 셀 수 없다는 것을 압니다. 그래서 자연수들은 무한개다. 이렇게 생각을 합니다. 그러나 수학史에서 미적분학의 발견과 함께 초기 미적분학의 모호한 논리성이 뜨거운 감자가 되었습니다. 실수에서 정의된 연속함수의 개념을 논리적으로 생각하다보니 실수에서의 극한의 개념을 탐구해야했고 실수에서의 극한의 개념을 탐구하다보니 자연수를 정의역으로 갖는 수열의 극한을 탐구했습니다. 이 와중에 보너스로 실수체계에 대해 탐구했습니다. 그러다보니 실수를 구성하고 있는 무리수, 유리수, 정수, 자연수를 차례로 탐구했습니다. 수 중에 자연수가 가장 범위가 작다보니 수학적 논리의 결함을 없애기 위해 가장 간단한 자연수부터 단계별로 발전시켜서

자연수(N) - 정수(Z) - 유리수(Q) - 실수(R)
괄호 안의 알파벳은 그 수체계를 나타내는 집합기호입니다.

이렇게 해야했습니다. 그래서 단순히 자연수를 우리가 머리에서 느끼는 그대로 사용해서는 안된다는 결론에 이르게 되었죠. 수학적으로 다루기 위해서는 다루려는 대상의 정체가 분명해야 합니다. 19세기(?)에 이탈리아의 수학자 주세페 페아노라는 분이 5가지 공리를 세워서 자연수를 규명해냈습니다. 페아노공리계라고 알려진 유명한 다섯가지 공리를 한 번 살펴보겠습니다.


1. 0(또는 1)은 자연수다.
2. 모든 자연수 n은 후계(successor)를 가지며 n+1이라 표기한다.
3. 0(또는 1)을 후계로 가지는 자연수는 없다.
4. 서로 다른 자연수는 서로 다른 후계를 가진다.
5. 0(또는 1)을 포함하고 계승을 가지는 집합은 자연수 집합과 같다.


여기서 다섯번째가 약간 이해가 어려울 수 있습니다. 이게 뭐냐면

0을 가지고 계승을 가진다는 말은 0의 후계인 1이 존재하는 것이죠? 그럼 1의 후계도 있겠구요
이런 식으로 계속 반복하면 결국 자연수 집합과 동일하겠네요. 이 내용입니다. 5번째 공리는 '수학적 귀납법'이라는 증명방법의 논리적 토대가 되는 공리입니다. '수학적 귀납법'에 대해서는 나중에 이야기하기로 하지요.

자연수는 셈하기(counting)와 순서매기기(ordering)에 목적이 있는 수 입니다. 수 자체의 계산은 당연한 것이구요. 자연수를 이용해 어떤 대상들의 순서를 정해주거나 대상들의 갯수를 세는데 큰 의미가 있지요. 실생활에서 당연한 것인데 왜 이런 이야기를 하는지는 집합론 카테고리에 있는 "자연수, 정수, 유리수 그리고 실수" 포스트를 보시면 이해가 되실 것입니다.



이 포스트를 작성하는데 도움이 된 자료들

위키피디아:자연수
Elementary Analysis:The theory of calculus, Kenneth A. Ross, Springer
수리철학의 기초, 버트란드 러셀, 경문사

그 외 많은 자료들; 


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