1. 정의(Definition)

인터넷에 있는 다른 훌륭한 내용들을 살펴보자.

네이버 백과사전

기호()에 대하여 그 수학적 의미를 규정한 것. 즉, 논의의 대상을 보편적인 것으로 하기 위해, 사용되는 용어 또는 기호의 의미를 확실하게 규정한 문장이나 식()을 그 용어의 정의라고 한다. 이를테면, ‘한 내각의 크기가 직각인 삼각형을 직각삼각형이라 한다’는 직각삼각형의 정의이다.


http://blog.naver.com/cholwan_atom/140006767916 좀 어려워요.

수학적 존재들은 우리가 자연 속에서 발견한 대상들이 아니다. 수학의 대상에 대한 수학적 정의와 대립되는 경험론적 정의는 [추상을 통하여 수학적 대상으로] 정의하기 앞서서 존재하는 사물들을 소박하게 기술한 것이다. 수학적 존재로서 원은 자연 속에 있는 대상을 지시하는 것이 아니다. 원을 창조한 것은 원에 대한 정의이다.

말하자면 수에 대한 경험적인 정의는 복사(copie)이지만, 수학적인 정의는 모델(modele)이라고 할 수 있다. [이 설명이 플라톤의 선분의 비유와 동굴의 우화를 연상하게 한다.]

수학적 정의는 어떤 구체적인 것과 일치할 필요가 없다(음수나 허수 등이 그 예이다). 르 르와(E. Le Roy)의 말과 같이, 수학적 정의가 제시하는 개념은 "효과적이고 연산적인 실행 자료를 정신에게 제공한다."

그래서 수학적 정의는 생산적인 풍요함에 의해서 정당화되는 순수한 연산도식이 되었다. (플라톤은 "기하학자가 아니면 이곳에 들어가지 마시오"라고 했고, 수학이 궁전과 사원건축을 주도했고, 황금비가 건축술을 지배했다 하더라도, 러셀 "수학은 수학하는 사람이 무엇에 대해서 말하고 있는지를 모르는 학문이며, 자기가 말한 것이 진리인지도 모르는 학문이다.

수 계열에서 다음이 "존재한다"는 것은 "우리에게 그 수에 다른 수를 첨가할 권리가 있다."는 것을 의미한다. [ - 이 미래 지배적(예측적) 사유는 과거를 미래로 그대로 투영한 것이다] 따라서 수의 무한성은 수 자체의 형성법칙 중에, 즉 첨가하는 행위 자체 중에 포함되어 있다.


쉽게 말하자면 어떤 대상이 어떠어떠한지 정해주는 행위라고 할 수 있다. 필연적으로 '정의'라는 행위는 선험적(미리 아는)인 경험이 수반되어야 한다. 모르는 것을 정의할 수는 없으니까.



2. 공리(Axiom) or 공준(Postulate)

공리와 공준이 서로 조금씩 다르다고 이야기하는 사람들도 간혹 계셔서 위키피디아를 조사할 결과(이 블로그 주인은 위키피디아를 좋아함) 공리(axioms), 공준(postulates), 가정(assumptions)는 서로 바꿔가며 사용한다고 나와있습니다. http://en.wikipedia.org/wiki/Postulate 를 참고하세요!

네이버 백과사전

하나의 이론에서 증명 없이 바르다고 하는 명제, 즉 조건 없이 전제된 명제이다. 수학에서는 '이론의 기초로서 가정한 명제'를 그 이론의 공리라고 한다.


수학이 완전 혹은 완벽하다고 생각하신다면 공리의 존재에 충격을 받으실 수도 있을 것입니다.
수학에서 어떤 개념이나 정리를 증명하기 위해 증명할 수 없는 명제들이 필요할 때가 있습니다.(자연수 이야기에서 사례가 하나 나올 것입니다) 당연히 수학자들은 공리가 많은 걸 좋아하지 않겠죠?
이곳에서 하기에는 어렵고 긴 이야기가 될 수 있지만 하나 말씀드리자면 힐베르트라는 유명한 독일 수학자가 공리를 증명할 수는 없지만 공리들 사이에 서로 모순이 없음을 보여서 수학이 완벽하다는 것을 증명하려 했습니다. 그러나 이 계획은 19-20세기 최고의 천재 쿠르트 괴델에 의해서 무너지게 되었죠^^;

수학이란 결국 논리적 방법들을 통해(연역, 귀납 등) 최소한의 가장 기본적인 명제들로부터 여러 명제들을 이끌어 내는 학문입니다.(사실 논리가 필요한 모든 것에 해당하는 말이지요) 그런데 사과와 빵이 없으면 아무리 제빵기술이 좋아도 사과빵을 만들지 못하듯 기본적인 명제가 없으면 수학을 전개해나갈 수 없는 것이죠. 그래서 증명없이 옳다고 여기고 사용하는 명제들이 반드시 필요합니다.

공리에 관해서 수학史에 재밌는 이야기들이 많습니다. 그러나 이곳에서 소개하지는 않겠으니 관심이 있으신 분들은 힐베르트 프로그램, 비유클리드기하학, 선택공리 등의 토픽에 대해 검색해보시기 바랍니다.



3. 정리(Theorem)

위 비유에서 이야기한 사과빵에 해당하는 것이 정리입니다.

네이버 백과사전

수학적으로 참인 명제(命題) 즉, 공리(公理)와 정의(定義)로부터 증명(證明)에 의해 정리가 유도되며, 이미 증명된 이들 정리와 공리 또는 정의를 추론(推論)의 근거로 하여 다음 정리가 옳다는 것을 확인한다. 증명된 정리는 그 체계의 토대로서는 바른 것(참인 것)이지만 보편적인 것은 아니다. 즉, 정리는 일군(一群)의 공리계(公理系)를 기초로 한, 하나의 체계에 대해서만 성립한다.


우리가 가장 친숙하게 알고 있는 정리 중 하나가 '피타고라스의 정리'입니다.
300가지가 넘는 증명 중 가장 간단한 증명 중 하나가 '삼각형의 닮음'을 이용한 증명인데요 여기서 '삼각형의 닮음'이 '닮음'에 대한 정의입니다. 이 정의를 이용해서 정리를 추론해내는 것이지요.



4. 무정의용어(Undefined Term)

네이버 백과사전

수학적으로 참인 명제(命題) 즉, 공리(公理)와 정의(定義)로부터 증명(證明)에 의해 정리가 유도되며, 이미 증명된 이들 정리와 공리 또는 정의를 추론(推論)의 근거로 하여 다음 정리가 옳다는 것을 확인한다. 증명된 정리는 그 체계의 토대로서는 바른 것(참인 것)이지만 보편적인 것은 아니다. 즉, 정리는 일군(一群)의 공리계(公理系)를 기초로 한, 하나의 체계에 대해서만 성립한다.


앗! 수학에 또 안타까운 헛점(?)이.. 저도 개인적으로 충격을 많이 받은 부분입니다. 특히 기하학개론책을 보던 중 몇몇 용어를 정의하지 않고 쓰기로 한다는 말을 보았거든요. 즉 선험적인 우리의 직관에 호소하는 부분입니다.

글을 대중적으로 쓰다보니(제가 전문적이지도 않은것도 요인) 어떤 분들께는 허접하다고 느끼실 수 있습니다. 그렇지만 이 블로그의 목적이 대중에게 수학을 알리는 것임을 기억하신다면 재미있게 읽으실 수 있습니다.

'수학_이론 > 논리|집합론' 카테고리의 다른 글

간단한 명제논리  (4) 2014.02.01
정의, 공리, 공준, 정리, 무정의용어 이야기  (0) 2009.12.16

+ Recent posts