수열의 극한과 함수의 극한은 극한을 구한다는 점에서 공통점이 있지만, 극한을 구하고자 하는 대상(수열 혹은 함수)의 정의역이 다르다.(자연수 v.s. 실수)


개인적으로, 이 차이점이 학생들에게 수열의 극한보다 함수의 극한을 더 어렵게 느끼게 하는 것이라고 생각한다.


왜냐하면, 수열의 극한에서 'n이 무한대로 간다'에서 n이 1, 2, 3, ... 이렇게 단조롭게 커진다고 생각하면 이해가 쉬운데 반해서


함수의 극한에서는 'x가 2에 무한히 가까워질때 ' 혹은 'x가 2에 수렴할때'라고 할때, x는 정의역에서 실수선을 따라 움직이기 때문에


('움직인다'는 표현은 옳지 않지만 고등학생들에게는 그렇게 가르치므로 우리도 그렇게 표현하겠다)


정확히 x가 어떤 경로로 2에 다가가는지 상상하기 힘들다. 그저 막연히 스르륵 흘러 간다고 생각하고 넘어가게 되지만 극한을 구하는 과정이 조금은 막연해지는 느낌이 든다. 적어도 나는 그랬다.


집합론을 빌려 표현하자면, 수열은 정의역이 자연수집합인데 자연수 집합은 countable이고, 고등학교에서 함수의 정의역은 실수의 부분집합이므로 uncountable이다. 그런데 사람은 countable은 쉽게 이해할 수 있고 uncountable은 그렇지 않으므로 어려움의 차이가 발생한다는 것이다.


그렇다면 함수의 극한을 수열의 극한처럼 풀 수는 없는걸까?


가능하다. 가능하니까 지금 이러고 있겠지.


몇몇 해석학 교재들은 연속성과 같은 극한의 개념이 필요한 용어들을 수열을 통해 정의하기도 하는데(대표적으로 Bartle) 이를 sequential definition이라 한다.


예를 들어 다음과 같이 함수의 연속을 수열로 정의할 수 있다.


$$\begin{align}
&\mbox{Sequential definition of continuity of a function}\\
&\mbox{Let } f \mbox{ be a function defined on a subset } D \mbox{ of } ,\\
&\mbox{then } f \mbox{ is continuous at } x=a \mbox{ in } D \mbox{ if and only if}\\
&\lim_{n\rightarrow\infty}{}f(x_{n})=f(a) \mbox{ for every } x_{n} \mbox{ convergent to } a
\end{align}$$


a로 수렴하는 모든 수열을 함수에 먹이고 n을 무한대로 보내는 극한을 통해 x = a에서의 연속성을 정의했다.


잠시 중고등수학을 벗어나 이야기해보자면


이 정의의 장점은 기존의 입-델보다 이해하기 쉽다는 것이다. 이해하기 쉬운 뿐 아니라 연속성 증명에서 어려운 입-델을 불러내어 부등식을 요리조리 풀지 않고, 수렴하는 임의의 수열을 불러내어 수렴하는 수열들의 성질들을 잘 조합해서 증명할 수 있다.


그럼 이 정의를 이용해서 함수의 극한 문제를 풀어보기 전에 한가지 자명한 사실을 언급하자.


$$\lim_{n\rightarrow\infty}{\frac{1}{n}}=0$$




풀이.


$$\begin{align}
&x\rightarrow3\mbox{이므로 } x_{n}=3+\frac{1}{n}\mbox{으로 잡는다.}\\
&\mbox{주어진 함수에 대입하면 다음을 얻는다.}\\
&\frac{\lgroup3+\frac{1}{n}\rgroup^{2}-12}{\frac{1}{n}}=\frac{\frac{7}{n}+\frac{1}{n^{2}}}{\frac{1}{n}}=\frac{7+\frac{1}{n}}{1}=7+\frac{1}{n}\\
&\mbox{따라서 답은 } 7
\end{align}$$



함수의 극한이 수열의 극한을 포함하는 문제의 예시.


$$\begin{align}
&x\mbox{가 } 0 \mbox{에 수렴하므로 } x_{n}=\frac{1}{n} \mbox{으로 잡는다.}\\
&\mbox{대입해서 계산하면}\\
&\frac{\sqrt{1+x_{n}}-1}{x_{n}} = \frac{\sqrt{1+\frac{1}{n}}-1}{\frac{1}{n}} = \frac{\sqrt{n^{2}+n}-n}{1} = \sqrt{n^{2}+n}-n
\end{align}$$


이 방법에 있어서 장점이 뭘까?


그냥 별난 풀이 정도로만 보면 될까? 음. 필자는 그렇지 않다고 생각한다.


함수의 극한을 수열의 극한으로 환원시켜 푸는 방식의 가장 큰 강점은 불연속 함수의 좌극한 / 우극한 계산에 있다. 기존의 방식으로는 불연속 함수의 그래프가 주어지거나 없으면 그려서 그림으로 유추해 내어야 한다. 그러나 이 방식은 불연속 함수의 식이 주어진다면, 그래프를 그리는 수고를 하지 않고 풀 수 있다.


$$\begin{align}
&f(x)=\begin{cases}
x^{2}+1 &x<0 \\ -x^{2}-1 & x>0
\end{cases}\\
&\text{$x=0$에서의 좌극한을 찾으려면 $x_{n}=0-\frac{1}{n}$으로 놓자.}\\
&\text{대입하여 계산하면 $\lgroup-\frac{1}{n}\rgroup^{2}+1\rightarrow1$이다.}\\
&\text{따라서 $\lim_{x\rightarrow0-0}{f(x)}=1$이다.}
\end{align}$$


좌극한 / 우극한에서 정의역의 방향과 움직이는 방식을 수열로 구체화시켰기 때문에 이해하기 쉽고 계산도 쉽다.



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  1. baumgarten 2016.04.15 01:02 신고

    두 번째 문제에 대한 설명이 보충되어야 하지 않나요.. 위의 것은 함수의 연속성에 대한 정의를 극한에 대해 수렴하는 임의 수열의 개념을 도입하여 제시하는 것이지 극한만을 다루는 것이 아니니... 그러니 제가 말하고자 하는 바는 두 번째 문제는 연속함수인 f서 f(0)을 구하는 게 아니니까요 그저 극한값을 구하는 건데.

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