출처 : http://www.dianajuncher.dk/zg/?p=18


N체 문제는 뉴턴역학이 한창 발전하면서 제기된 질문이다. 질량이 있는 물체들이 서로 끌어당긴다면, 태양계에 있는 행성들이 충돌하지 말란 법이 있는가?


그래서 사람들은 천체의 안정성에 의문을 던지기 시작했고 이 의문을 가장 간단하게 수학적으로 표현한 것이 3체 문제다. 쉽게 말해 태양, 지구, 달이 서로를 끌어 당기며 돌고 있다면 언젠가 적어도 둘 중 하나가 충돌(collision)하거나 적어도 한 천체가 다른 곳으로 멀리 날아가(blow up)버리지 않을까에 대한 문제다.



마지막에 튕겨나가는 소행성.. 미분방정식을 풀었을때 발산하는 해를 갖게 된다.



읽어볼만한 글(물론 전 읽지 않았습니다)

The Solution of N-Body problem by F.Diacu.pdf


이 문제에 대해 스웨덴 국왕이 현상금을 걸었고 내로라하는 수학자들이 달려들었지만 모두 실패. 오직 푸앵카레만 절반의 성공을 한다. 비록 완전히 풀지는 못했지만 이때 푸앵카레가 사용한 방법은 기존에 없던 방법의 풀이였고, 그전까지의 연립미분방정식의 해 자체를 구하려 하던 방식에서 벗어나 해들의 관계를 연구하는 질적연구가 시작됐다. (수학과에서는 보통 2학년 미분방정식 시간에 배울 수 있다.) N체 문제를 해결하기 위해 도전한 수많은 수학자들이 비록 풀지는 못하더라도 의미있는 결과들을 얻어내어 필즈상을 받았다. 그중에는 유명한 스티븐 스메일교수도 있다.


그러나 N체 문제는 수많은 천재들을 좌절시켰다. 그러다가 내가 존경하는 수학자 Kolmogorov가 KAM이론으로 추상적으로 증명했다. 아주 작은 섭동에 의해서 깨지는 궤도들을 모은 집합의 measure는 0이다라고 증명함. 물론 해석학이 늘 그렇듯 섭동이 얼마나 작아야 하는지는 모른다. 다만 작은 소행성이 지구 옆을 지나간다고 해서 지구가 원래 궤도를 크게 벗어날 일은 거의 없다.


대중에 널리 알려진 카오스현상이 바로 3체문제에서 나온다. 2체문제에서는 카오스가 나오지 않지만 간단한 비선형 연립 3변수 미분방정식인 Lorenz 방정식에서 strange attractor가 발생한다.



Strange attractor

출처 : https://www.skepticalscience.com/print.php?r=134



언젠가 이 주제에 대해 재밌는 글을 써보고 싶다. 사실 2체 문제를 응용해서 학과 학술제에서 발표한 내용으로 대상을 받았는데 꼭 한번 여기에 올려야겠다.


p.s. 쓰다보니 유머글이 아니게 되었군

  1. Baumgarten 2016.04.16 05:37 신고

    우와 학술제 대상 (≥∀≤)

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